1.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient une boule noire et (n − 1)
boules blanches. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la manière suivante :
les tirages d’ordre impair s’effectuent sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec
remise de la boule tirée.
1. Quel est le nombre total N de tirages effectués lors de cette épreuve ?
2. On désigne par X k la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire est obtenue au k-ième
tirage et 0 sinon et par X la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la boule
noire lors de cette épreuve.
a. Déterminer la loi de X k pour tout k ∈ [[1, 2n − 1]] (distinguer selon la parité de k).
b. En déduire l’espérance de X.
3. On note Y la variable aléatoire égale au rang où la boule noire est tirée pour la première
fois.
a. Déterminer la loi de Y et son espérance.
b. Exprimer l’événement [X = 1] en fonction des événements [Y = 2j − 1] (j ∈ [[1, n]]).
En déduire la valeur de P([X = 1]).
4. Calculer P([X = n]).
2.
Soit N un entier naturel non nul. On dispose d’un sac contenant N jetons numérotés
de 1 à N dans lequel on peut effectuer une succession de tirages avec remise d’un jeton en
notant, à chaque fois, le numéro obtenu.
Pour tout entier naturel n non nul, on note T n le nombre de numéros distincts obtenus au
cours des n premiers tirages.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a. Quelles sont les valeurs prises par T n ?
b. Calculer P([T n = 1]) et P([T n = n]).
c. Déterminer P([T n = 2]).
2. Soit (k, n) un couple d’entiers naturels non nuls avec 1 k N.
Déterminer une relation entre P([T n+1 = k]), P([T n = k]) et P([T n = k − 1]).
3. Pour tout entier naturel n non nul, on considère le polynôme
G n =
N
k=1
P([T n = k])X
k .
a. Prouver l’égalité
G n+1 =
1
N
(X − X
2 )G
n + XG n .
b. Pour tout entier naturel n non nul, en reliant l’espérance E(T n ) à G n , exprimer E(T n+1 )
à l’aide de E(T n ), N et n, puis déterminer E(T n ) en fonction de N et n.
c. Déterminer lim
N→∞
E(T N )
N
·
3.
Soit X une variable aléatoire telle que X(V) ⊂ N.
1. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ ,
n
k=1
kP([X = k]) =
n−1
k=0
P([X > k]) − nP([X > n]).
274
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient une boule noire et (n − 1)
boules blanches. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la manière suivante :
les tirages d’ordre impair s’effectuent sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec
remise de la boule tirée.
1. Quel est le nombre total N de tirages effectués lors de cette épreuve ?
2. On désigne par X k la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire est obtenue au k-ième
tirage et 0 sinon et par X la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la boule
noire lors de cette épreuve.
a. Déterminer la loi de X k pour tout k ∈ [[1, 2n − 1]] (distinguer selon la parité de k).
b. En déduire l’espérance de X.
3. On note Y la variable aléatoire égale au rang où la boule noire est tirée pour la première
fois.
a. Déterminer la loi de Y et son espérance.
b. Exprimer l’événement [X = 1] en fonction des événements [Y = 2j − 1] (j ∈ [[1, n]]).
En déduire la valeur de P([X = 1]).
4. Calculer P([X = n]).
2.
Soit N un entier naturel non nul. On dispose d’un sac contenant N jetons numérotés
de 1 à N dans lequel on peut effectuer une succession de tirages avec remise d’un jeton en
notant, à chaque fois, le numéro obtenu.
Pour tout entier naturel n non nul, on note T n le nombre de numéros distincts obtenus au
cours des n premiers tirages.
1. Soit n un entier naturel non nul.
a. Quelles sont les valeurs prises par T n ?
b. Calculer P([T n = 1]) et P([T n = n]).
c. Déterminer P([T n = 2]).
2. Soit (k, n) un couple d’entiers naturels non nuls avec 1 k N.
Déterminer une relation entre P([T n+1 = k]), P([T n = k]) et P([T n = k − 1]).
3. Pour tout entier naturel n non nul, on considère le polynôme
G n =
N
k=1
P([T n = k])X
k .
a. Prouver l’égalité
G n+1 =
1
N
(X − X
2 )G
n + XG n .
b. Pour tout entier naturel n non nul, en reliant l’espérance E(T n ) à G n , exprimer E(T n+1 )
à l’aide de E(T n ), N et n, puis déterminer E(T n ) en fonction de N et n.
c. Déterminer lim
N→∞
E(T N )
N
·
3.
Soit X une variable aléatoire telle que X(V) ⊂ N.
1. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ ,
n
k=1
kP([X = k]) =
n−1
k=0
P([X > k]) − nP([X > n]).
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