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Les lois usuelles
• le nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une période T ;
• le nombre de véhicules franchissant un poste de péage pendant une période T ;
• le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique pendant une période T.
Définition 19
On dit qu’une variable aléatoire réelle discrète X suit la loi de Poisson de paramètre
l, où l > 0, si X(V) = N et
∀k ∈ N, P([X = k]) =
l
k
k!
e
−l .
La proposition « X suit la loi de Poisson de paramètre l » se note X → P(l).
➤ Remarque
On définit bien ainsi la loi d’une variable aléatoire discrète car
+∞
k=0
l
k
k!
e
−l = e
−l
+∞
k=0
l
k
k!
= e
−l e
l = 1.
Proposition 28
Toute variable aléatoire X qui suit la loi de Poisson de paramètre l admet une espérance
et une variance, respectivement égales à
E(X) = l,
V(X) = l.
Preuve
La série de terme général kP([X = k]) = le −l l
k−1
(k − 1)!
(k 1) est une série exponentielle. Elle est donc
convergente. Ainsi X admet une espérance
E(X) =
+∞
k=1
kP([X = k]) = le
−l
+∞
k=1
l
k−1
(k − 1)!
= le
−l
+∞
j=0
l
j
j!
= le
−l e
l = l.
Comme pour k 2, k(k − 1)P([X = k]) = l
2 e −l l
k−2
(k − 2)!
, terme général d’une série exponentielle, la série
de terme général k(k − 1)P([X = k]) converge donc, d’après le théorème de transfert, X(X − 1) admet une
espérance
E
X(X − 1)
=
+∞
k=2
k(k − 1)P([X = k]) = l
2 e
−l
+∞
k=2
l
k−2
(k − 2)!
= l
2 e
−l
+∞
j=0
l
j
j!
= l
2 e
−l e
l = l
2 .
On en déduit que X
2 = X(X − 1) + X admet une espérance et donc que X admet une variance. On obtient
V(X) = E(X(X − 1)) + E(X) −
E(X)
2 = l
2 + l − l
2 = l.
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