Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
La série de terme général
j + 1
r
q
j−r (j r) converge, donc il en est de même de
la série de terme général (j + 1)jP([X r = j]). Ainsi, d’après le théorème de transfert, la
variable (X r + 1)X r possède une espérance et
E
X r (X r + 1)
= (r + 1)rp
r
+∞
j=r
j + 1
r + 1
q
j−r
= (r + 1)rp
r 1
p r+2 =
(r + 1)r
p 2 ·
On en déduit que X
2
r = (X r + 1)X r − X r possède une espérance. Ainsi X r possède un
moment d’ordre 2 donc une variance et
V (X r ) = E(X
2
r ) − E(X r )
2 = E
X r (X r + 1)
− E(X r ) − E(X r )
2
=
(r + 1)r
p 2 −
r
p
−
r
2
p 2 =
rq
p 2 ·
➤ Remarque
Pour r = 1, Xr représente le temps d’attente du premier succès et suit donc une loi géométrique à valeurs dans
N ∗ . On retrouve alors l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
2. a. On a X r = Z r + r.
b. L’événement [Z r = −1] qui est égal à [X r = 0] est négligeable. On en déduit l’on peut
considérer que Z r (V) = N. Pour tout k ∈ N,
P([Z r = k]) = P([X r = k + r]) =
k + r − 1
r − 1
p
r q
k .
Comme X r admet une espérance et une variance, il en est de même de Z r et
E(Z r ) = E(X r ) − r =
rq
p
, V(Z r ) = V (X r ) =
rq
p 2 ·
➤ Remarque
Pour r = 1, Zr le nombre d’échecs avant le premier succès et suit donc une loi géométrique à valeurs dans N. On
retrouve alors l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
4.3 Loi de Poisson
Situation type
Il n’est pas possible de donner un modèle simple pour la loi de Poisson. Celle-ci
apparaît comme une loi limite. Nous verrons dans le chapitre 12 (Convergences et
approximations) page 401 que si la variable aléatoire X suit un loi binomiale avec n
grand et p proche de 0, elle suit approximativement une loi de Poisson de paramètre
l = np. On dit encore que la loi de Poisson est la loi des événements « rares ».
Dans la pratique, on peut décrire par une loi de Poisson le nombre d’événements d’un
certain type se produisant dans une période de temps donnée, par exemple
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