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Les lois usuelles
Comme ([X r = k]) kr est le système complet d’événements associé à la variable aléatoire X r , on a
+∞
k=r
k − 1
r − 1
p
r q
k−r =
+∞
k=r
P([X r = k]) = 1.
On en déduit que, pour tout r ∈ N
∗ ,
+∞
k=r
k − 1
r − 1
q
k−r =
1
p r ·
b. On a, pour k r l’égalité k
k − 1
r − 1
= r
k
r
et donc
k P([X r = k]) = rp
r
k
r
q
k−r .
L’égalité démontrée dans la question précédente donne, si on remplace r par r + 1,
+∞
k=r+1
k − 1
r
q
k−r−1 =
1
p r+1
et avec le changement d’indice j = k − 1,
+∞
j=r
j
r
q
j−r =
1
p r+1 ·
Ainsi, la série de terme général
j
r
q
j−r (j r) converge. Il en est de même de la série
de terme général j P([X r = j]), car rp
r est une constante. Donc X r admet une espérance
et
E(X r ) = rp
r
+∞
j=r
j
r
q
j−r = rp
r 1
p r+1 =
r
p
·
c. On a, pour k r, l’égalité (k + 1)k
k − 1
r − 1
= r(r + 1)
k + 1
r + 1
et donc
(k + 1)k P([X r = k]) = (r + 1)rp
r
k + 1
r + 1
q
k−r .
L’égalité démontrée dans la première question appliquée à r + 2 donne, avec le changement de variable j = k − 2,
+∞
k=r+2
k − 1
r
q
k−r−2 =
+∞
j=r
j + 1
r
q
j−r =
1
p r+2 ·
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