Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
On définit la variable aléatoire réelle X r égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir r
boules blanches pour la première fois et à 0 si les tirages ne donnent jamais r boules blanches.
De même, on définit la variable aléatoire réelle Z r , égale au nombre de boules noires tirées
avant l’obtention des r boules blanches et à −1 si on n’obtient jamais r boules blanches.
1. a. Déterminer la loi de X r (on dit que X r suit une loi de Pascal de paramètre (r, p)). En
déduire que
∀r ∈ N
∗ ,
+∞
k=r−1
k − 1
r − 1
q
k−r =
1
p r ·
b. Montrer que X r admet une espérance et calculer E(X r ).
c. Montrer que X r admet une variance et calculer V (X r ).
2. a. Trouver une relation liant les variables aléatoires X r et Z r (on dit que Z r suit une loi
binomiale négative de paramètre (r, p)).
b. En déduire la loi de Z r , puis montrer que Z r admet une espérance et une variance que
l’on déterminera.
Solution.
1. a. Montrons d’abord que l’événement [X r = 0] est négligeable. Il est inclus dans l’événement H : « il existe un rang à partir duquel tous les tirages donnent des boules noires ».
L’événement H est la réunion lorsque n décrit N
∗ des événements H n : « tous les tirages
à partir du n-ième donnent des boules noires et le (n − 1)-ième tirage donne une boule
blanche si n 2 ».
Pour tout n ∈ N
∗ et tout k ∈ N, H n est inclus dans l’événement H n,k : « tous les tirages
du n-ième au (n + k)-ième donnent des boules noires » donc 0 P(H n ) P(H n,k ).
Comme les résultats des différents tirages sont indépendants, on obtient P(H n,k ) = q
k+1
et lim
k→+∞
P(H n,k ) = lim
k→+∞
q
k = 0. Par passage à la limite dans les inégalités précédentes,
on en déduit P(H n ) = 0.
Les événements H n étant incompatibles, on obtient
P(H) =
+∞
n=1
P(H n,k ) = 0.
On a donc P([X r = 0]) = 0 : l’événement [X r = 0] est négligeable. On peut donc
considérer que X r (V) = Úr, +∞Û.
Soit k ∈ X r (V). L’événement [X r = k] est l’intersection des événements A : « le k-ième
tirage a donné une boule blanche » et B : « r − 1 boules blanches ont été tirées lors des
k − 1 tirages précédents. ».
On a P(A) = p et P(B) =
k−1
r−1
p
r−1 q
(k−1)−(r−1) , car il s’agit de la possibilité d’obtenir
(r − 1) succès en (k − 1) essais indépendants et le nombre de succès suit la loi binomiale
de paramètre (k − 1, p). Comme les tirages se font avec remise, les événements A et B
sont indépendants. On obtient donc
P([X r = k]) = P(A)P(B) = p
k − 1
r − 1
p
r−1 q
k−r =
k − 1
r − 1
p
r q
k−r .
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On définit la variable aléatoire réelle X r égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir r
boules blanches pour la première fois et à 0 si les tirages ne donnent jamais r boules blanches.
De même, on définit la variable aléatoire réelle Z r , égale au nombre de boules noires tirées
avant l’obtention des r boules blanches et à −1 si on n’obtient jamais r boules blanches.
1. a. Déterminer la loi de X r (on dit que X r suit une loi de Pascal de paramètre (r, p)). En
déduire que
∀r ∈ N
∗ ,
+∞
k=r−1
k − 1
r − 1
q
k−r =
1
p r ·
b. Montrer que X r admet une espérance et calculer E(X r ).
c. Montrer que X r admet une variance et calculer V (X r ).
2. a. Trouver une relation liant les variables aléatoires X r et Z r (on dit que Z r suit une loi
binomiale négative de paramètre (r, p)).
b. En déduire la loi de Z r , puis montrer que Z r admet une espérance et une variance que
l’on déterminera.
Solution.
1. a. Montrons d’abord que l’événement [X r = 0] est négligeable. Il est inclus dans l’événement H : « il existe un rang à partir duquel tous les tirages donnent des boules noires ».
L’événement H est la réunion lorsque n décrit N
∗ des événements H n : « tous les tirages
à partir du n-ième donnent des boules noires et le (n − 1)-ième tirage donne une boule
blanche si n 2 ».
Pour tout n ∈ N
∗ et tout k ∈ N, H n est inclus dans l’événement H n,k : « tous les tirages
du n-ième au (n + k)-ième donnent des boules noires » donc 0 P(H n ) P(H n,k ).
Comme les résultats des différents tirages sont indépendants, on obtient P(H n,k ) = q
k+1
et lim
k→+∞
P(H n,k ) = lim
k→+∞
q
k = 0. Par passage à la limite dans les inégalités précédentes,
on en déduit P(H n ) = 0.
Les événements H n étant incompatibles, on obtient
P(H) =
+∞
n=1
P(H n,k ) = 0.
On a donc P([X r = 0]) = 0 : l’événement [X r = 0] est négligeable. On peut donc
considérer que X r (V) = Úr, +∞Û.
Soit k ∈ X r (V). L’événement [X r = k] est l’intersection des événements A : « le k-ième
tirage a donné une boule blanche » et B : « r − 1 boules blanches ont été tirées lors des
k − 1 tirages précédents. ».
On a P(A) = p et P(B) =
k−1
r−1
p
r−1 q
(k−1)−(r−1) , car il s’agit de la possibilité d’obtenir
(r − 1) succès en (k − 1) essais indépendants et le nombre de succès suit la loi binomiale
de paramètre (k − 1, p). Comme les tirages se font avec remise, les événements A et B
sont indépendants. On obtient donc
P([X r = k]) = P(A)P(B) = p
k − 1
r − 1
p
r−1 q
k−r =
k − 1
r − 1
p
r q
k−r .
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