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Les lois usuelles
Preuve
Ce résultat découle de la proposition précédente. Il s’écrit q
k+ = q
k q .
❑
➤ Remarque
Comme [X > k + ] ⊂ [X > k], on a P [X>k]
[X > k + ]
=
P
[X > k + ]
P
[X > k]
· La propriété démontrée dans le
corollaire équivaut donc à
P [X>k] ([X > k + ]) = P([X > >]).
La probabilité que X prenne une valeur supérieure à k + sachant qu’elle est supérieure à k, donc qu’elle s’accroisse
au moins de est égale à la probabilité qu’elle prenne une valeur supérieure à . Si on pense à X comme à une
durée, on peut dire que X ne tient pas compte du passé. On dit que le processus est sans mémoire.
Proposition 27
La fonction de répartition d’une variable X qui suit la loi géométrique de paramètre p à
valeurs dans N
∗ est la fonction
F X :
⎧
⎨
⎩
R −→ [0, 1]
x −→
0
s i x < 1
1 − q
k
si k x < k + 1, k ∈ N
∗ .
Preuve
Cela résulte directement de la proposition 7. Pour tout k ∈ N ∗ et x ∈ [k, k + 1[,
FX (x) = P
[X k]
= 1 − P
[X > k]
= 1 − q
k .
❑
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F X (x)
Figure 8.1 Graphe de FX
Exercice 3. Temps d’attente – Nombre d’échecs
Soit r un entier naturel non nul. Une urne contient des boules indiscernables au toucher
blanches et noires, la proportion de boules blanches étant p ∈ ]0, 1[ et celle de boules noires
q = 1 − p. On effectue une infinité de tirages d’une boule dans l’urne, la boule tirée étant
remise après chaque tirage. Les tirages sont numérotés dans N
∗ .
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