Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
La série de terme général k(k − 1)P([X = k]) = k(k − 1)q
k−1 = pqk(k − 1)q
k−2 est une série dérivée seconde
d’une série géométrique convergente car q ∈ ]0, 1[. On en déduit que X(X − 1) admet une espérance
E
X(X − 1)
=
+∞
k=0
k(k − 1)pq
k−1 = pq
+∞
k=2
k(k − 1)q
k−2
= pq
2
(1 − q) 3 =
2q
p 2 ·
Comme X
2 = X(X − 1) + X, on en déduit que X possède un moment d’ordre 2,
E(X
2 ) = E
X(X − 1)
+ E(X) =
2q
p 2 +
1
p
et donc une variance
V(X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 =
2q
p 2 +
1
p
−
1
p 2 =
2q + p − 1
p 2
=
q
p 2 ·
Les résultats pour Y résultent de l’égalité Y = X − 1 qui entraîne
E(Y) = E(X) − 1 =
1
p
− 1 =
q
p
et V(Y) = V(X).
❑
Proposition 26
Si la variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ à valeurs dans N
∗ ,
on a, pour tout entier naturel k,
P([X > k]) = q
k .
Preuve
Pour tout k ∈ N,
P([X > k]) =
+∞
n=k+1
P([X = n]) =
+∞
n=k
pq
n−1 .
En posant j = n − k − 1, on obtient
P([X > k]) =
+∞
j=0
pq
j+k = pq
k
+∞
j=0
q
j =
pq
k
1 − q
= q
k .
❑
➤ Remarque
Ce résultat est tout à fait évident si on se rappelle que X est le temps d’attente du premier succès. L’événement
[X > k] est « les k premières épreuves ont été des échecs », de probabilité q
k .
Corollaire 3
Si la variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ à valeurs dans N
∗ ,
on a, pour tout couple d’entiers naturels (k, ),
P
[X > k + ]
= P
[X > k]
P
[X > >]
.
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