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Les lois usuelles
Définition 18
Soit p ∈ ]0, 1[.
On dit qu’une variable aléatoire réelle discrète X suit la loi géométrique de paramètre p à
valeurs dans N
∗ (temps d’attente du premier succès) si X(V) = N
∗ et
∀k ∈ N
∗ , P([X = k]) = p q
k−1 ,
où q = 1 − p.
On dit qu’une variable aléatoire réelle discrète Y suit la loi géométrique de paramètre p à
valeurs dans N (nombre d’échecs avant le premier succès) si Y (V) = N et
∀k ∈ N, P([Y = k]) = p q
k ,
où q = 1 − p.
La proposition « X (ou Y ) suit la loi géométrique de paramètre p » se note X → G(p) (ou
Y → G(p)).
Exemples
1. On effectue une infinité de lancers d’une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité
d’obtenir pile est p et la probabilité d’obtenir face est q = 1 − p. On note X le rang d’apparition du premier pile et Y = X − 1. On montre comme précédemment que l’événement
« on n’obtient que des faces » est de probabilité nulle et que X suit la loi géométrique de
paramètre p à valeurs dans N
∗ , Y la loi géométrique à valeurs dans N.
2. Le même raisonnement vaut pour toute répétition d’une épreuve à deux issues (succès
et échec) pour laquelle la probabilité de succès est p, les résultats des différentes épreuves
étant indépendants. Le temps d’attente du premier succès et le nombre d’échecs avant le
premier succès suivent des lois géométrique de paramètre p.
Proposition 25
Toute variable aléatoire X (resp. Y ) qui suit la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ à
valeurs dans N
∗ (resp. N) admet une espérance et une variance, respectivement égales à
E(X) =
1
p
, V(X) =
q
p 2 et E(Y ) =
q
p
, V(Y ) =
q
p 2 ,
où q = 1 − p.
Preuve
La série de terme général k P([X = k]) = pkq
k−1 est une série géométrique dérivée convergente car q ∈ ]0, 1[.
Donc X admet une espérance
E(X) = p
+∞
k=0
kq
k−1 = p
1
(1 − q) 2 =
1
p
,
puisque 1 − q = p.
Pour calculer la variance, il est plus simple de déterminer d’abord E
X(X − 1)
.
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