Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Proposition 24
Toute variable aléatoire X qui suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) admet
une espérance et une variance
E(X) = np,
V (X) = npq
N − n
N − 1
·
4.2 Loi géométrique
Situation type
On considère une urne contenant un nombre fini de boules blanches et de boules
noires supposées indiscernables au toucher, la proportion des boules blanches dans
l’urne étant p et la proportion de boules noires q = 1 − p. On effectue une infinité
de tirages d’une boule dans l’urne, la boule tirée étant remise après chaque tirage. Les
tirages sont numérotés dans N ∗ .
Soit X l’application qui, à tout élément de l’univers des possibles V, associe le nombre
de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche pour la première fois et 0 si
tous les tirages donnent une boule noire. On admet que l’univers V peut être muni
d’une tribu T qui contient pour tout n ∈ N l’événement A n : « le n-ième tirage
donne une boule blanche ». On suppose que les résultats des différents tirages sont
indépendants et donc que (A n ) est une suite d’événements indépendants. On a par
hypothèse P(A n ) = p et donc P(A n ) = 1 − p = q.
Pour tout entier k non nul, [X = k] = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A k−1 ∩ A k ∈ T et
P([X = k)] = P(A 1 )P(A 2 ) · · · ∩ P(A k−1 )P(A k ) = p q
k−1 .
On en déduit
+∞
k=1
P([X = k]) = p
+∞
i=0
q
i =
p
1 − q
= 1,
car on reconnaît la somme d’une série géométrique.
Cette somme représente la probabilité de
+∞
k=1
[X = k] = [X = 0]. Ainsi [X = 0] est
un événement de probabilité nulle. En négligeant cet événement, on peut considérer
que X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans N ∗ . La variable X est appelée
le temps d’attente de la première boule blanche.
On remarque que la variable Y = X − 1 représente le nombre de boules noires tirées
avant d’obtenir la première boule blanche.
Si on appelle succès le tirage d’une boule blanche, X est le temps d’attente du
premier succès et Y le nombre d’échecs avant le premier succès.
Les variables X et Y seront dites suivre une loi géométrique.
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Proposition 24
Toute variable aléatoire X qui suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) admet
une espérance et une variance
E(X) = np,
V (X) = npq
N − n
N − 1
·
4.2 Loi géométrique
Situation type
On considère une urne contenant un nombre fini de boules blanches et de boules
noires supposées indiscernables au toucher, la proportion des boules blanches dans
l’urne étant p et la proportion de boules noires q = 1 − p. On effectue une infinité
de tirages d’une boule dans l’urne, la boule tirée étant remise après chaque tirage. Les
tirages sont numérotés dans N ∗ .
Soit X l’application qui, à tout élément de l’univers des possibles V, associe le nombre
de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche pour la première fois et 0 si
tous les tirages donnent une boule noire. On admet que l’univers V peut être muni
d’une tribu T qui contient pour tout n ∈ N l’événement A n : « le n-ième tirage
donne une boule blanche ». On suppose que les résultats des différents tirages sont
indépendants et donc que (A n ) est une suite d’événements indépendants. On a par
hypothèse P(A n ) = p et donc P(A n ) = 1 − p = q.
Pour tout entier k non nul, [X = k] = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A k−1 ∩ A k ∈ T et
P([X = k)] = P(A 1 )P(A 2 ) · · · ∩ P(A k−1 )P(A k ) = p q
k−1 .
On en déduit
+∞
k=1
P([X = k]) = p
+∞
i=0
q
i =
p
1 − q
= 1,
car on reconnaît la somme d’une série géométrique.
Cette somme représente la probabilité de
+∞
k=1
[X = k] = [X = 0]. Ainsi [X = 0] est
un événement de probabilité nulle. En négligeant cet événement, on peut considérer
que X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans N ∗ . La variable X est appelée
le temps d’attente de la première boule blanche.
On remarque que la variable Y = X − 1 représente le nombre de boules noires tirées
avant d’obtenir la première boule blanche.
Si on appelle succès le tirage d’une boule blanche, X est le temps d’attente du
premier succès et Y le nombre d’échecs avant le premier succès.
Les variables X et Y seront dites suivre une loi géométrique.
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