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Les lois usuelles
3. On lance indépendamment n pièces équilibrées et on considère la variable aléatoire X
égale au nombre de piles apparus.
Dans l’hypothèse d’équiprobabilité, la variable X suit la loi binomiale de paramètre
n,
1
2
.
Proposition 22
Toute variable aléatoire X de loi binomiale de paramètre (n, p) admet une espérance et
une variance,
E(X) = np,
V (X) = npq.
Proposition 23
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre (n, p), la variable aléatoire n−X
suit la loi binomiale de paramètres (n, q), où q = 1 − p.
➤ Remarque
Si X représente un nombre de succès parmi n expériences, alors Y = n − X mesure le nombre d’échecs, ce qui
rend ce résultat évident.
Loi hypergéométrique
Définition 17
Soit n et N des entiers tels que 1 n N, p ∈ ]0, 1[ tel que Np soit entier, q = 1 − p.
On dit qu’une variable aléatoire réelle discrète X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) si X(V) = Úmax
0, n − Nq
, min(n, Np)Û et
∀k ∈ Úmax
0, n − Nq
, min(n, Np)Û, P
[X = k]
=
Np
k
Nq
n−k
N
n
La proposition « X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) » se note
X → H(N, n, p)
Exemple
Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On suppose que n a + b.
On tire simultanément n boules dans l’urne. Soit X la variable aléatoire égale au nombre
de boules blanches obtenues. La variable X suit donc la loi hypergéométrique de paramètre
a + b, n,
a
a + b
·
Si on tire successivement sans remise n boules dans l’urne, et qu’on note X la variable aléatoire
égale au nombre de boules blanches obtenues, la variable X suit encore la loi hypergéométrique
de paramètre
a + b, n,
a
a + b
·
On retiendra que les tirages simultanés et les tirages successifs sans remise aboutissent
à la même loi hypergéométrique.
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