Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Exemples
1. Toute épreuve à deux issues peut être représentée par une variable de Bernoulli, en notant
1 et 0 les deux résultats possibles (appelés succès et échec).
Par exemple la variable aléatoire réelle qui vaut 0 si la pièce tombe sur pile et 1 si la pièce
tombe sur face, suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
2. La variable indicatrice d’un événement A tel que 0 < P(A) < 1 est une variable de
Bernoulli. Réciproquement, toute variable de Bernoulli est la variable indicatrice de l’événement P([X = 1]).
3. Si X et Y sont deux variables aléatoires de Bernoulli, alors leur produit XY est une variable
aléatoire de Bernoulli si XY = 0.
4. En particulier, si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, il en est de même de X
2 car
X
2 = X.
Proposition 21
Si la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, X admet une espérance
et une variance, respectivement égales à
E(X) = p et V (X) = p(1 − p).
Loi binomiale
Définition 16
On dit que la variable aléatoire réelle discrète X définie sur l’espace probabilisé (V, T , P)
suit la loi binomiale de paramètre (n, p), où n ∈ N
∗ et p ∈ ]0, 1[ si X(V) = Ú0, nÛ et, pour
tout k ∈ Ú0, nÛ,
P([X = k]) =
n
k
p
k q
n−k ,
où q = 1 − p.
La proposition « X suit la loi binomiale de paramètre (n, p) » se note X → B(n, p).
➤ Remarque
Une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre (1, p) est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p. Cela justifie la notation B(1, p) pour une variable de Bernoulli.
Exemples
1. On considère une succession de n épreuves dont les résultats sont indépendants, chacune
ayant deux issues appelées succès (de probabilité p) et échec (de probabilité q = 1 − p).
Alors la variable aléatoire égale au nombre total de succès dans ces n épreuves suit la loi
binomiale de paramètre (n, p).
2. Une urne contient des boules blanches en proportion p et des boules noires en proportion
1 − p. On fait n tirages avec remise dans l’urne. La variable égale au nombre de boules
blanches obtenues suit une loi binomiale de paramètre (n, p).
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Exemples
1. Toute épreuve à deux issues peut être représentée par une variable de Bernoulli, en notant
1 et 0 les deux résultats possibles (appelés succès et échec).
Par exemple la variable aléatoire réelle qui vaut 0 si la pièce tombe sur pile et 1 si la pièce
tombe sur face, suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
2. La variable indicatrice d’un événement A tel que 0 < P(A) < 1 est une variable de
Bernoulli. Réciproquement, toute variable de Bernoulli est la variable indicatrice de l’événement P([X = 1]).
3. Si X et Y sont deux variables aléatoires de Bernoulli, alors leur produit XY est une variable
aléatoire de Bernoulli si XY = 0.
4. En particulier, si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, il en est de même de X
2 car
X
2 = X.
Proposition 21
Si la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, X admet une espérance
et une variance, respectivement égales à
E(X) = p et V (X) = p(1 − p).
Loi binomiale
Définition 16
On dit que la variable aléatoire réelle discrète X définie sur l’espace probabilisé (V, T , P)
suit la loi binomiale de paramètre (n, p), où n ∈ N
∗ et p ∈ ]0, 1[ si X(V) = Ú0, nÛ et, pour
tout k ∈ Ú0, nÛ,
P([X = k]) =
n
k
p
k q
n−k ,
où q = 1 − p.
La proposition « X suit la loi binomiale de paramètre (n, p) » se note X → B(n, p).
➤ Remarque
Une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre (1, p) est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p. Cela justifie la notation B(1, p) pour une variable de Bernoulli.
Exemples
1. On considère une succession de n épreuves dont les résultats sont indépendants, chacune
ayant deux issues appelées succès (de probabilité p) et échec (de probabilité q = 1 − p).
Alors la variable aléatoire égale au nombre total de succès dans ces n épreuves suit la loi
binomiale de paramètre (n, p).
2. Une urne contient des boules blanches en proportion p et des boules noires en proportion
1 − p. On fait n tirages avec remise dans l’urne. La variable égale au nombre de boules
blanches obtenues suit une loi binomiale de paramètre (n, p).
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