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Les lois usuelles
4. Les lois usuelles
4.1 Lois finies
Rappelons les lois finies étudiées en première année. Leurs propriétés seront énoncées
sans démonstration
Loi uniforme
Définition 14
On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur Ú1, nÛ, où n est un
entier non nul, si X(V) = Ú1, nÛ et
∀k ∈ Ú1, nÛ, P([X = k]) =
1
n
·
Plus généralement, on dit que la variable aléatoire réelle discrète X suit la loi uniforme
sur Úa, bÛ, où a et b sont deux entiers tels que a < b, si X(V) = Úa, bÛ et
∀k ∈ Úa, bÛ, P([X = k]) =
1
b − a + 1
·
La proposition « X suit la loi uniforme sur Úa, bÛ » se note X → U(Úa, bÛ).
Exemples
1. Un dé parfaitement équilibré est lancé. La variable aléatoire X égale au numéro de la face
supérieure suit la loi uniforme sur Ú1, 6Û.
2. Une urne contient n boules numérotée. On en tire une au hasard. La variable X égale au
numéro de la boule tirée suit une loi uniforme sur Ú1, nÛ.
Proposition 20
Toute variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur Ú1, nÛ admet une espérance et une
variance
E(X) =
n + 1
2
,
V(X) =
n
2
− 1
12
·
Toute variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur Úa, bÛ admet une espérance et une
variance
E(X) =
a + b
2
,
V(X) =
(b − a)(b − a + 2)
12
·
Loi de Bernoulli
Définition 15
Soit p ∈ ]0, 1[. On dit qu’une variable aléatoire réelle discrète X suit la loi de Bernoulli
de paramètre p si X(V) = {0, 1} et P([X = 1]) = p.
La proposition « X suit la loi de Bernoulli de paramètre p » se note X → B(1, p).
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