Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Proposition 18
Si (a, b) est un couple de réels et X une variable aléatoire réelle discrète admettant un
moment d’ordre 2, alors aX + b admet un moment d’ordre 2 et
V (aX + b) = a
2 V (X).
Preuve
La variable X admet un moment d’ordre 2 donc une espérance. On en déduit que aX + b admet un espérance
et E(aX + b) = aE(X) + b. On obtient
aX + b − E(aX + b)
2 = a
2
X − E(X)
2 .
Comme X admet une variance
X − E(X)
2 admet une espérance. Par linéarité, il en est de même de
aX + b − E(aX + b)
2 . Ainsi aX + b admet une variance et
V(aX + b) = E
a
2 (X − E(X))
2
= a
2 E
(X − E(X))
2
= a
2 V(X).
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3.5 L’écart-type
Définition 12
Si X est variable aléatoire réelle discrète admettant un moment d’ordre deux, l’écart-type
de la variable aléatoire réelle discrète X est le réel s(X) =
√
V (X).
Définition 13
Soit X variable aléatoire réelle discrète admettant un moment d’ordre 2. Si E(X) = 0 et
s(X) = 1, la variable aléatoire X est dite centrée réduite.
Proposition 19
Si X est une variable aléatoire réelle discrète X admettant une variance non nulle, la
variable aléatoire réelle discrète X
∗ =
X − E(X)
s(X)
est une variable aléatoire réelle discrète
centrée réduite, appelée la variable aléatoire réelle centrée réduite associée à X.
Preuve
On écrit X ∗ =
1
s(X)
X −
E(X)
s(X)
, fonction affine de X.
D’après le corollaire 2 , X ∗ possède une espérance et
E(X
∗ ) =
E(X)
s(X)
−
E(X)
s(X)
= 0.
D’après la proposition 18, X ∗ admet une variance et
V(X
∗ ) =
1
s(X) 2 V(X) = 1.
Par suite X ∗ est une variable aléatoire centrée réduite.
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