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Les moments d’une variable aléatoire
4k
(k + 1)(k + 2)
∼
k→+∞
4
k
, terme d’une série divergente, donc X n’admet pas de moment
d’ordre 2 et donc pas de variance.
3. Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(V) = N
∗ et, pour tout k ∈ N
∗ ,
P([X = k]) =
c a
k a , où c a est le réel tel que
+∞
k=1
P([X = k]) = 1, c’est-à-dire
1
c a
=
+∞
k=1
1
k a .
La série de terme général
c a k
k a converge si, et seulement si, a > 2, condition nécessaire et
suffisante pour que X admette une espérance qui vaut alors
E(X) =
+∞
k=1
c a
k a−1 =
c a
c a−1
·
Comme la série de terme général
c a k
2
k a converge si, et seulement si, a > 3, il en résulte
que X admet un moment d’ordre 2 et donc une variance si, et seulement si, a > 3. Alors
on peut écrire
E(X
2 ) =
+∞
k=1
c a
k a−2 =
c a
c a−2
et la formule de Kœnig-Huyghens permet de conclure
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 = c a
c
2
a−1 − c a−2 c a
c a−2 c 2
a−1
·
Propriétés de la variance
Proposition 17
Pour toute variable aléatoire réelle discrète X admettant un moment d’ordre 2, on
a V (X) 0.
De plus V (X) = 0 si, et seulement si, X est presque sûrement constante, c’est-à-dire si et
seulement s’il existe m ∈ R tel que P
[X = m]
= 1.
Preuve
La variance est positive, car c’est l’espérance de la variable positive (X − E(X))
2 .
Si V(X) = 0, alors
X − E(X)
2 est une variable aléatoire réelle discrète positive qui admet une espérance
nulle. D’après la proposition 12, on en déduit que (X − E(X))
2 est nulle presque sûrement, c’est-à-dire que
P([
X − E(X)
2 = 0]) = 1. Comme
[
X − E(X)
2 = 0] = [X − E(X) = 0] = [X = E(X)],
on en déduit P([X = E(X)]) = 1 et donc que X est égale à E(X) presque sûrement.
Si réciproquement X = m presque sûrement, alors E(X) = m, la variable
X − E(X)
2 est presque sûrement
nulle, donc V(X) = E
X − E(X)
2
= 0.
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