Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Exemples
1. Soit X une variable aléatoire telle que X(V) = Z et, P([X = k]) =
1
2.3 |k| , pour tout
k ∈ Z. Nous avons déjà démontré (page 250) que son espérance est nulle.
La série de terme général
k
2
2.3 k =
k
2
2
1
3
k
converge, car son terme général est équivalent
à
1
2
k(k − 1)
1
3
k
=
1
18
k(k − 1)
1
3
k−2
qui est dérivée seconde d’une série géométrique
de raison
1
3
. On en déduit que X possède une moment d’ordre 2
E(X
2 ) = 2
+∞
k=1
k
2
2
1
3
k
=
+∞
k=1
k
2
1
3
k
.
Comme la série de terme général k(k − 1)
1
3
k
converge, on peut écrire (la troisième
série étant convergente car différence des deux premières),
E(X
2 ) =
+∞
k=1
k(k − 1)
1
3
k
+
+∞
k=1
k
1
3
k
=
1
9
+∞
k=1
k(k − 1)
1
3
k−2
+
1
3
+∞
k=1
k
1
3
k−1
.
On reconnaît dans ces deux séries la dérivée seconde et la dérivée de la série géométrique
de raison
1
3
. On en déduit
E(X
2 ) =
1
9
2
1 −
1
3
3 +
1
3
1
1 −
1
3
2 =
1
9
2.27
8
+
1
3
9
4
=
3
2
·
Comme E(X) = 0, on obtient, d’après la formule de Kœnig-Huyghens,
V (X) = E(X
2 ) =
3
2
·
2. Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(V) = N
∗ et
P([X = k]) =
4
k(k + 1)(k + 2)
pour tout entier k strictement positif (une telle variable aléatoire a été étudiée page 246).
La série de terme général kP([X = k]) =
4
(k + 1)(k + 2)
converge car
4
(k + 1)(k + 2)
∼
k→+∞
4
k 2 , terme d’une série convergente, donc X possède une
espérance, mais la série de terme général k
2 P([X = k]) =
4k
(k + 1)(k + 2)
diverge car
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