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Les moments d’une variable aléatoire
Les séries
P([X = xn]) et
|xn|
r P([X = xn]) convergent. En effet, la première a pour somme 1 et la
convergence de la seconde équivaut à l’existence de mr(X).
On en déduit la convergence de la série
(1 + |xn|
r )P([X = xn]) et, par le théorème de comparaison des séries
à termes positifs, celle de la série de terme général |xn|
k P
[X = xn]
converge : X admet un moment d’ordre k.
❑
3.4 La variance
Définition 11
Si la variable aléatoire X admet un espérance et si la variable
X − E(X)
admet une
moment d’ordre 2, on appelle variance de X le réel V (X) définie par
V (X) = m 2 (X − E(X)) = E
X − E(X)
2
.
➤ Remarques
• Toute variable aléatoire réelle discrète finie admet une variance.
• La variance est la moyenne du carré de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de X. La variance est
donc une mesure de la dispersion de X par rapport à E(X).
• Comme la variable X − E(X) est centrée, la variance est aussi appelée moment centré d’ordre 2.
Proposition 16 (Formule de Koenig-Huygens)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. La variable X admet une variance si, et seulement si, X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence, on a
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 .
Preuve
• Si X possède un moment d’ordre 2, elle possède un moment d’ordre 1, c’est-à-dire une espérance, d’après
le théorème 15. Comme
(X − E(X))
2 = X
2 − 2E(X) X + ((E(X))
2 ,
on en déduit par linéarité que (X − E(X))
2 possède une espérance. Ainsi V(X) existe et
V(X) = E(X
2 ) − 2E(X)E(X) + E((E(X))
2 )
= E(X
2 ) − 2(E(X))
2 + (E(X))
2
= E(X
2 ) − (E(X))
2 ,
puisque E(X) est une variable aléatoire constante dont l’espérance est E(X).
• Réciproquement si V(X) existe, X et (X − E(X))
2 ont des espérances. Il en est de même de X
2 , car
X
2 = (X − E(X))
2 + 2E(X) X − ((E(X))
2 . La variable X possède donc un moment d’ordre 2.
❑
➤ Remarque
Dans la quasi-totalité des cas, on utilise la formule de Kœnig-Huyghens pour calculer une variance et non la
définition qui entraîne des calculs compliqués.
257
Les moments d’une variable aléatoire
Les séries
P([X = xn]) et
|xn|
r P([X = xn]) convergent. En effet, la première a pour somme 1 et la
convergence de la seconde équivaut à l’existence de mr(X).
On en déduit la convergence de la série
(1 + |xn|
r )P([X = xn]) et, par le théorème de comparaison des séries
à termes positifs, celle de la série de terme général |xn|
k P
[X = xn]
converge : X admet un moment d’ordre k.
❑
3.4 La variance
Définition 11
Si la variable aléatoire X admet un espérance et si la variable
X − E(X)
admet une
moment d’ordre 2, on appelle variance de X le réel V (X) définie par
V (X) = m 2 (X − E(X)) = E
X − E(X)
2
.
➤ Remarques
• Toute variable aléatoire réelle discrète finie admet une variance.
• La variance est la moyenne du carré de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de X. La variance est
donc une mesure de la dispersion de X par rapport à E(X).
• Comme la variable X − E(X) est centrée, la variance est aussi appelée moment centré d’ordre 2.
Proposition 16 (Formule de Koenig-Huygens)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. La variable X admet une variance si, et seulement si, X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence, on a
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 .
Preuve
• Si X possède un moment d’ordre 2, elle possède un moment d’ordre 1, c’est-à-dire une espérance, d’après
le théorème 15. Comme
(X − E(X))
2 = X
2 − 2E(X) X + ((E(X))
2 ,
on en déduit par linéarité que (X − E(X))
2 possède une espérance. Ainsi V(X) existe et
V(X) = E(X
2 ) − 2E(X)E(X) + E((E(X))
2 )
= E(X
2 ) − 2(E(X))
2 + (E(X))
2
= E(X
2 ) − (E(X))
2 ,
puisque E(X) est une variable aléatoire constante dont l’espérance est E(X).
• Réciproquement si V(X) existe, X et (X − E(X))
2 ont des espérances. Il en est de même de X
2 , car
X
2 = (X − E(X))
2 + 2E(X) X − ((E(X))
2 . La variable X possède donc un moment d’ordre 2.
❑
➤ Remarque
Dans la quasi-totalité des cas, on utilise la formule de Kœnig-Huyghens pour calculer une variance et non la
définition qui entraîne des calculs compliqués.
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