Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
aléatoire X est le réel
m r (X) =
n
i=1
x
r
i P
[X = x i ]
.
➤ Remarque
Toute variable aléatoire réelle discrète finie admet un moment d’ordre r pour tout entier naturel r.
Définition 10
Soient r un entier naturel et X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur l’espace
probabilisé (V, T , P), telle que X(V) = {x i , i ∈ N}. Si la série de terme général
x
r
i P
[X = x i ]
converge absolument, on dit alors que X admet un moment d’ordre
r égal au nombre réel
m r (X) =
+∞
i=0
x
r
i P([X = x i ]).
➤ Remarques
• La définition dans le cas fini apparaît comme un cas particulier de celle-ci, une somme finie pouvant être
considérée comme la somme d’une série absolument convergente dont une infinité de termes sont nuls.
• Si r est pair, la convergence absolue équivaut à la convergence, car la série de terme général x
r
n P([X = xn]) est
à termes positifs.
• Le moment d’ordre 0 est égal à 1, celui d’ordre 1 est l’espérance mathématique.
Proposition 14
Soit X une variable aléatoire réelle discrète et r entier naturel. La variable X admet un
moment d’ordre r si, et seulement si, la variable aléatoire réelle discrète X
r admet une
espérance et, dans ce cas, m r (X) = E(X
r ).
Preuve
Cela résulte du théorème 8 (théorème de transfert) appliqué à la fonction g : x −→ x
r et dans le cas d’une
variable finie, où mr(X) et E(X
r ) sont toujours définis, du théorème 7.
❑
Proposition 15
Si une variable aléatoire réelle discrète X admet un moment d’ordre r alors, pour tout
entier naturel k r, elle admet un moment d’ordre k.
Preuve
Si X est une variable aléatoire réelle discrète finie, elle admet un moment à tout ordre. Considérons donc une
variable aléatoire réelle discrète infinie X, et posons X(V) = {xn, n ∈ N}. Supposons que X admette un
moment d’ordre r et considérons un entier naturel k inférieur ou égal à r.
Pour tout entier n de N, si |xn| 1, alors |xn|
k 1, et si |xn| > 1, alors |xn|
k |xn|
r . Ainsi pour tout entier n
de N, |xn|
k 1 + |xn|
r , d’où
|xn|
k P
[X = xn]
(1 + |xn|
r )P
[X = xn]
.
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aléatoire X est le réel
m r (X) =
n
i=1
x
r
i P
[X = x i ]
.
➤ Remarque
Toute variable aléatoire réelle discrète finie admet un moment d’ordre r pour tout entier naturel r.
Définition 10
Soient r un entier naturel et X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur l’espace
probabilisé (V, T , P), telle que X(V) = {x i , i ∈ N}. Si la série de terme général
x
r
i P
[X = x i ]
converge absolument, on dit alors que X admet un moment d’ordre
r égal au nombre réel
m r (X) =
+∞
i=0
x
r
i P([X = x i ]).
➤ Remarques
• La définition dans le cas fini apparaît comme un cas particulier de celle-ci, une somme finie pouvant être
considérée comme la somme d’une série absolument convergente dont une infinité de termes sont nuls.
• Si r est pair, la convergence absolue équivaut à la convergence, car la série de terme général x
r
n P([X = xn]) est
à termes positifs.
• Le moment d’ordre 0 est égal à 1, celui d’ordre 1 est l’espérance mathématique.
Proposition 14
Soit X une variable aléatoire réelle discrète et r entier naturel. La variable X admet un
moment d’ordre r si, et seulement si, la variable aléatoire réelle discrète X
r admet une
espérance et, dans ce cas, m r (X) = E(X
r ).
Preuve
Cela résulte du théorème 8 (théorème de transfert) appliqué à la fonction g : x −→ x
r et dans le cas d’une
variable finie, où mr(X) et E(X
r ) sont toujours définis, du théorème 7.
❑
Proposition 15
Si une variable aléatoire réelle discrète X admet un moment d’ordre r alors, pour tout
entier naturel k r, elle admet un moment d’ordre k.
Preuve
Si X est une variable aléatoire réelle discrète finie, elle admet un moment à tout ordre. Considérons donc une
variable aléatoire réelle discrète infinie X, et posons X(V) = {xn, n ∈ N}. Supposons que X admette un
moment d’ordre r et considérons un entier naturel k inférieur ou égal à r.
Pour tout entier n de N, si |xn| 1, alors |xn|
k 1, et si |xn| > 1, alors |xn|
k |xn|
r . Ainsi pour tout entier n
de N, |xn|
k 1 + |xn|
r , d’où
|xn|
k P
[X = xn]
(1 + |xn|
r )P
[X = xn]
.
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