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Les moments d’une variable aléatoire
Exemples
1. Considérons la variable aléatoire réelle discrète X, étudiée à la page 245, telle que
X(V) = Z et
∀k ∈ Z, P([X = k]) =
1
2.3 |k| ·
• Posons Y = 2
X : c’est une variable aléatoire réelle discrète.
Les séries de termes généraux
2
k
2.3 k =
1
2
2
3
k
et
2
−k
2.3 k =
1
2
1
6
k
convergent absolument, car
2
3
et
1
6
appartiennent à ] − 1, 1[. Ainsi Y admet une espérance et
E(Y ) =
+∞
k=1
1
2
2
3
k
+
+∞
k=0
1
2
1
6
k
.
En faisant le changement d’indice j = k − 1 dans la première somme, on obtient
E(Y ) =
1
3
+∞
j=0
2
3
j
+
1
2
+∞
k=0
1
6
k
=
1
3
1
1 −
2
3
+
1
2
1
1 −
1
6
= 1 +
3
5
=
8
5
·
• Posons Z = 4
X : Z est une variable aléatoire réelle discrète.
La série de terme général
4
k
3 k+1 =
1
3
4
3
k
diverge car
4
3
> 1. Donc Z n’admet pas
d’espérance.
2. Soit X une variable aléatoire réelle discrète telle que X(V) = N et
∀k ∈ N, P([X = k]) =
e
−1
k!
.
On définit bien ainsi une variable aléatoire discrète car
+∞
k=0
1
k!
= e et donc
+∞
k=0
e
−1
k!
= 1.
Posons Y =
1
1 + X
; c’est une variable aléatoire réelle discrète. La série de terme général
1
1 + k
e
−1
k!
=
e
−1
(k + 1)!
converge. Donc Y admet une espérance
E(Y ) =
+∞
k=0
e
−1
(k + 1)!
= e
−1
+∞
k=0
1
(k + 1)!
= e
−1
+∞
j=1
1
j!
= e
−1 (e − 1) = 1 − e
−1 .
3.3 Moments d’une variable aléatoire discrète
Définition 9
Soit r un entier naturel. Pour toute variable aléatoire réelle discrète finie X sur l’espace
probabilisé (V, T , P), telle que X(V) = {x 1 , . . . , x n }, le moment d’ordre r de la variable
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