Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Preuve
L’image g(X)(V) = {g(x i ), i ∈ [ [1, n] ]} est finie ; on note
g(X)(V) = {y1, y2, . . . , ym}
et, pour tout j de Ú1, mÛ, on considère le sous-ensemble I j de Ú1, nÛ des indices i tels que g(x i ) = y j . On a alors
[g(X) = y j ] =
i∈Ij
[X = x i ].
On en déduit que, pour tout j de Ú1, mÛ,
y j P([Y = y j ]) = y j
i∈Ij
P([X = x i ]) =
i∈Ij
y j P([X = x i ])
=
i∈Ij
g(x i )P([X = x i ]).
Par définition de l’espérance
E
g(X)
=
m
j=1
y j P([g(X) = y j ]) =
m
j=1
⎛
⎝
i∈Ij
g(x i )P([X = x i ])
⎞
⎠
=
i∈
m
j=1
Ij
g(x i )P([X = x i ]).
Comme
m
j=1
I j = Ú1, nÛ, on a
E
g(X)
=
n
i=1
g(x i )P([X = x i ]).
❑
Nous admettrons le théorème suivant qui permet le calcul de l’espérance de la variable
g(X) dans le cas où X est une variable discrète non finie.
Théorème 8
Soit X est une variable aléatoire réelle discrète telle que X(V) = {x n , n ∈ N} et g une
application de X(V) dans R, la variable aléatoire g(X) admet une espérance si, et seulement
si, la série de terme général g(x n )P([X = x n ]) est absolument convergente, et l’on dispose
alors de l’égalité
E
g(X)
=
+∞
n=0
g(x n )P([X = x n ]).
➤ Remarques
• Dans le cas d’une variable aléatoire discrète finie, la variable aléatoire g(X) est encore finie donc g(X) existe
toujours, comme l’affirme le théorème 7. Si X(V) est dénombrable, le théorème 8 donne la condition pour que
g(X) possède une espérance et l’expression de cette espérance dans le cas où elle est définie.
• Si X(V) = Z, il faut vérifier la convergence des séries de terme général g(n)P([X = n]) et g(−n)P([X = −n]) et
en cas de convergence, on a
E(X) =
∞
n=0
g(n)P([X = n]) +
+∞
n=1
g(−n)P([X = −n]).
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