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Les moments d’une variable aléatoire
Preuve
Notons que E(X) est un réel qu’on considère comme la variable aléatoire constante v −→ E(X) ; celle-ci a pour
espérance E(X). D’après le corollaire 2, la variable aléatoire X − E(X) est une variable aléatoire réelle discrète
admettant une espérance et
E
X − E(X)
= E(X) − E(X) = 0.
❑
Proposition 12 (Positivité de l’espérance)
Soit X est une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance.
• Si X est positive, c’est-à-dire si X(v) 0 pour tout élément v de V, alors E(X) est
un réel positif.
• Si de plus E(X) = 0, la variable X est presque sûrement nulle, c’est-à-dire vérifie
l’égalité P([X = 0]) = 1.
Preuve
Soit X(V) = {x i , i ∈ I}.
• Comme X est une variable aléatoire positive, on a x i 0 pour tout i ∈ I. L’espérance E(X) qui est la somme
de la série de terme général x i P([X = x i ]), donc la somme d’une série à termes positifs, est positive.
• Supposons qu’il existe i ∈ I tel que x i > 0 et P([X = x i ]) > 0. On a alors, puisque tous les termes de la série
définissant E(X) sont positifs, E(X) x i P([X = x i ]) > 0.
Par contraposée, si E(X) = 0 alors P([X = x i ]) = 0 pour tout i ∈ I tel que x i = 0. Donc P([X = 0]) = 1. ❑
Proposition 13 (Croissance de l’espérance)
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur le même espace probabilisé (V, T , P), admettant une espérance.
Si X Y , c’est-à-dire si X(v) Y (v) pour tout élément v de V, alors
E(X) E(Y ).
Preuve
Comme X et Y admettent une espérance, Y − X est une variable aléatoire réelle discrète positive admettant
une espérance et E(Y − X) = E(Y) − E(X).
D’après la proposition 12, E(Y − X) 0, d’où E(X) E(Y).
❑
3.2 Le théorème de transfert
Théorème 7
Si X est une variable aléatoire réelle discrète finie vérifiant X(V) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } et g
une application de X(V) dans R, l’espérance de la variable aléatoire discrète finie g(X) est
donnée par
E
g(X)
=
n
i=1
g(x i )P
[X = x i ]
.
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Les moments d’une variable aléatoire
Preuve
Notons que E(X) est un réel qu’on considère comme la variable aléatoire constante v −→ E(X) ; celle-ci a pour
espérance E(X). D’après le corollaire 2, la variable aléatoire X − E(X) est une variable aléatoire réelle discrète
admettant une espérance et
E
X − E(X)
= E(X) − E(X) = 0.
❑
Proposition 12 (Positivité de l’espérance)
Soit X est une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance.
• Si X est positive, c’est-à-dire si X(v) 0 pour tout élément v de V, alors E(X) est
un réel positif.
• Si de plus E(X) = 0, la variable X est presque sûrement nulle, c’est-à-dire vérifie
l’égalité P([X = 0]) = 1.
Preuve
Soit X(V) = {x i , i ∈ I}.
• Comme X est une variable aléatoire positive, on a x i 0 pour tout i ∈ I. L’espérance E(X) qui est la somme
de la série de terme général x i P([X = x i ]), donc la somme d’une série à termes positifs, est positive.
• Supposons qu’il existe i ∈ I tel que x i > 0 et P([X = x i ]) > 0. On a alors, puisque tous les termes de la série
définissant E(X) sont positifs, E(X) x i P([X = x i ]) > 0.
Par contraposée, si E(X) = 0 alors P([X = x i ]) = 0 pour tout i ∈ I tel que x i = 0. Donc P([X = 0]) = 1. ❑
Proposition 13 (Croissance de l’espérance)
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur le même espace probabilisé (V, T , P), admettant une espérance.
Si X Y , c’est-à-dire si X(v) Y (v) pour tout élément v de V, alors
E(X) E(Y ).
Preuve
Comme X et Y admettent une espérance, Y − X est une variable aléatoire réelle discrète positive admettant
une espérance et E(Y − X) = E(Y) − E(X).
D’après la proposition 12, E(Y − X) 0, d’où E(X) E(Y).
❑
3.2 Le théorème de transfert
Théorème 7
Si X est une variable aléatoire réelle discrète finie vérifiant X(V) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } et g
une application de X(V) dans R, l’espérance de la variable aléatoire discrète finie g(X) est
donnée par
E
g(X)
=
n
i=1
g(x i )P
[X = x i ]
.
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