Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Preuve
La variable aX admet un espérance égale à aE(X). La variable constante b admet une espérance b. Donc aX + b
admet une espérance et
E(aX + b) = E(aX) + b = aE(X) + b.
❑
➤ Remarque
Le théorème 6 est utile pour calculer l’espérance d’une variable dont on ne connaît pas la loi, mais qu’on sait
décomposer en somme de variables aléatoires plus simples, par exemple en somme de variables indicatrices, dont
on sait calculer l’espérance.
Exemple
On considère un entier n 2 et une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On
prélève ces jetons successivement et sans remise. On note (u 1 , . . . , u n ) la liste des numéros
successivement tirés. Pour 2 i n, on dit qu’il y a « montée » (resp. « descente » au i-ième
tirage si u i > u i−1 (resp. u i < u i−1 ). On note X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au nombre
total de montées (resp. de descentes).
L’univers V est l’ensemble des permutations de [[1, n]]. On a donc Card(V) = n! et T = P(V).
Les variables X et Y sont à valeurs dans [[0, n − 1]]. Pour i ∈ [[2, n]], on note X i la variable qui
vaut 1 s’il y a montée au i-ième tirage et 0 sinon. On a alors
X = X 2 + · · · + X n .
Pour i ∈ Ú2, nÛ, l’événement [X i = 1] est réalisé si u i−1 < u i . On choisit deux éléments de
[[1, n]] au hasard, le plus petit est u i−1 , le plus grand u i ; les n − 2 autres jetons peuvent être
tirées dans un ordre quelconque. On trouve
P([X i = 1]) =
n
2
(n − 2)!
n!
=
1
2
·
On en déduit que E(X i ) = P([X i = 1]) =
1
2
, puis
E(X) =
n
i=2
1
2
=
n − 1
2
·
On peut procéder de la même manière pour Y , mais on peut remarquer plus simplement que
X + Y = n − 1, car s’il n’y a pas montée au i-ième tirage, il y a descente. On en déduit que
E(Y ) = n − 1 − E(X) =
n − 1
2
·
Définition 8
Toute variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance nulle est dite centrée.
Proposition 11
Pour toute variable aléatoire réelle discrète X admettant une espérance E(X), la variable
aléatoire X − E(X) est une variable aléatoire réelle discrète centrée appelée la variable
aléatoire centrée associée à X.
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Preuve
La variable aX admet un espérance égale à aE(X). La variable constante b admet une espérance b. Donc aX + b
admet une espérance et
E(aX + b) = E(aX) + b = aE(X) + b.
❑
➤ Remarque
Le théorème 6 est utile pour calculer l’espérance d’une variable dont on ne connaît pas la loi, mais qu’on sait
décomposer en somme de variables aléatoires plus simples, par exemple en somme de variables indicatrices, dont
on sait calculer l’espérance.
Exemple
On considère un entier n 2 et une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On
prélève ces jetons successivement et sans remise. On note (u 1 , . . . , u n ) la liste des numéros
successivement tirés. Pour 2 i n, on dit qu’il y a « montée » (resp. « descente » au i-ième
tirage si u i > u i−1 (resp. u i < u i−1 ). On note X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au nombre
total de montées (resp. de descentes).
L’univers V est l’ensemble des permutations de [[1, n]]. On a donc Card(V) = n! et T = P(V).
Les variables X et Y sont à valeurs dans [[0, n − 1]]. Pour i ∈ [[2, n]], on note X i la variable qui
vaut 1 s’il y a montée au i-ième tirage et 0 sinon. On a alors
X = X 2 + · · · + X n .
Pour i ∈ Ú2, nÛ, l’événement [X i = 1] est réalisé si u i−1 < u i . On choisit deux éléments de
[[1, n]] au hasard, le plus petit est u i−1 , le plus grand u i ; les n − 2 autres jetons peuvent être
tirées dans un ordre quelconque. On trouve
P([X i = 1]) =
n
2
(n − 2)!
n!
=
1
2
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On en déduit que E(X i ) = P([X i = 1]) =
1
2
, puis
E(X) =
n
i=2
1
2
=
n − 1
2
·
On peut procéder de la même manière pour Y , mais on peut remarquer plus simplement que
X + Y = n − 1, car s’il n’y a pas montée au i-ième tirage, il y a descente. On en déduit que
E(Y ) = n − 1 − E(X) =
n − 1
2
·
Définition 8
Toute variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance nulle est dite centrée.
Proposition 11
Pour toute variable aléatoire réelle discrète X admettant une espérance E(X), la variable
aléatoire X − E(X) est une variable aléatoire réelle discrète centrée appelée la variable
aléatoire centrée associée à X.
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