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Les moments d’une variable aléatoire
puis que
E(Z) =
z∈Z(V)
z P([Z = z])
=
z∈Z(V)
⎛
⎜
⎜
⎝
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i +y j =z
(x i + y j ) P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
⎞
⎟
⎟
⎠
=
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
(x i + y j ) P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
,
car tout z ∈ Z(V) s’écrit x i + y j , où (i, j) ∈ [ [1, m] ] × [ [1, n] ].
Comme
[X = x i
1im
et
[Y = y j ]
1jn
sont des systèmes complets d’événements, on obtient
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i P([X = x i ∩ [Y = y j ]) =
m
i=1
⎛
⎝ x i
n
j=1
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
⎞
⎠
=
m
i=1
x i P([X = x i ]) = E(X),
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
y j P([X = x i ∩ [Y = y j ]) =
n
j=1
y j
m
i=1
P([X = x i ] ∩ [Y = y j ])
=
n
j=1
y j P([Y = y j ]) = E(Y).
On en déduit
E(Z) =
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
+
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
y j P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
= E(X) + E(Y),
c’est-à-dire
E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Si l = 0 la variable lX est la variable nulle et son espérance est nulle. Sinon, on a
(lX)(V) = {lx1, lx2, . . . , lxn} et, pour i ∈ Ú1, nÛ,
P([lX = lx i ]) = P([X = x i ]).
On en déduit
E(lX) =
n
i=1
lx i P([X = x i ]) = l
n
i=1
x i P([X = x i ]) = lE(X).
❑
➤ Remarque
Ce théorème signifie que l’ensemble des variables aléatoires sur (V, T , P) admettant une espérance forment un
espace vectoriel et que l’application X −→ E(X) définie sur cet espace vectoriel est linéaire.
Corollaire 2
Soit X est une variable aléatoire réelle discrète admettant une espérance E(X). Pour tout
couple (a, b) de réels, aX + b est une variable aléatoire réelle discrète admettant a E(X) + b
comme espérance.
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