Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
2. Reprenons la variable aléatoire X de l’exemple de la page 245. Ici X est la variable aléatoire
égale au numéro de la boule prélevée dans une urne en contenant une infinité numérotées
sur Z. La loi de X est définie par
∀k ∈ Z, P([X = k]) =
1
2.3 |k| ·
La série de terme général
k
2.3 k converge donc X admet une espérance et
E(X) =
+∞
k=1
−k
2.3 k +
+∞
k=0
k
2.3 k = 0.
➤ Remarque
Il existe des variables aléatoires réelles discrètes, infinies bien sûr, qui n’admettent pas d’espérance.
Nous avons montré qu’il existait une variable aléatoire X telle que X(V) = N ∗ et P([X = n]) =
1
n(n + 1)
, pour tout
n ∈ N ∗ . Cette variable n’admet pas d’espérance. En effet, la série de terme général nP([X = n]) =
1
n + 1
diverge.
Propriétés de l’espérance
Théorème 6 (Linéarité de l’espérance)
Soit X et Y sont deux variables discrètes sur le même espace probabilisé (V, T , P), admettant une espérance, et l un réel. Alors X + Y et lX sont des variables aléatoires réelles
discrètes qui admettent une espérance et
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) et E(lX) = lE(X).
Preuve
Nous savons déjà que Z = X + Y et lX sont des variables aléatoires discrètes (cf théorème 5). Nous démontrons
le théorème uniquement dans le cas fini.
Soit X(V) = {x1, x2, . . . , xm} et Y(V) = {y1, y2, . . . , yn}.
On a alors Z(V) = {x i + y j , (i, j) ∈ [ [1, m] ] × [ [1, n] ]} et, pour tout z ∈ Z(V),
[Z = z] =
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i +y j =z
[X = x i ] ∩ [Y = y j ].
On en déduit que
zP([Z = z]) = z
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i +y j =z
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
=
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ]
x i +y j =z
zP
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
=
(i,j)∈[ [1,m] ]×[ [1,n] ],
x i +y j =z
(x i + y j )P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
,
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