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Les moments d’une variable aléatoire
Définition 7
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur l’espace probabilisé (V, T , P),
X(V) = {x i , i ∈ N}. Si la série de terme général x i P
[X = x i ]
converge absolument, on dit alors que X admet une espérance mathématique (ou espérance) égale au
nombre réel
E(X) =
+∞
i=0
x i P([X = x i ]).
➤ Remarques
• La définition dans le cas fini apparaît comme un cas particulier de celle-ci, une somme finie pouvant être
considérée comme la somme d’une série absolument convergente dont une infinité de termes sont nuls.
• On impose la convergence absolue de la série, car dans le cas d’une série qui est convergente mais pas absolument convergente, la somme de la série varie si l’on fait subir aux indices i une permutation arbitraire de N.
Ainsi la valeur de
+∞
i=0
x i P([X = x i ]) dépendrait de la numérotation des éléments de X(v).
• Toute variable aléatoire réelle discrète X telle que X(V) = N admet une espérance si, et seulement si, la série
de terme général n P([X = n]) converge (en effet, elle est à termes positifs).
En cas de convergence,
E(X) =
+∞
n=0
n P([X = n]) =
+∞
n=1
n P([X = n]).
• Toute variable aléatoire réelle discrète X telle que X(V) = Z admet une espérance si, et seulement si, les séries
de termes généraux nP([X = n]) et nP([X = −n]) convergent (ces séries sont à termes de signe constant donc
la convergence absolue équivaut à la convergence). En cas de convergence de ces séries, on a
E(X) =
+∞
n=1
(−n)P([X = −n]) +
+∞
n=0
nP([X = n]),
ce que l’on note
E(X) =
+∞
n=−∞
n P([X = n]).
Exemples
1. Reprenons l’exemple du sauteur en hauteur (page 243). On a X(V) = N
∗ et pour tout
n ∈ N
∗ , P([X = n]) =
1
n!
−
1
(n + 1)!
· On obtient, pour tout n ∈ N
∗ ,
n
k=1
kP([X = k]) =
n
k=1
k
k!
−
k
(k + 1)!
=
n
k=1
k
k!
−
n+1
j=2
j − 1
j!
, en posant j = k + 1,
=
n
k=1
1
k!
−
n
(n + 1)!
·
La série de terme général
1
n!
converge et a pour somme e. On a d’autre part
0
n
(n + 1)!
1
n!
et donc lim
n→+∞
n
(n + 1)!
= 0. On en déduit
lim
n→+∞
n
k=1
kP([X = k]) =
+∞
k=1
1
k!
=
+∞
k=0
1
k!
− 1 = e − 1.
La variable X possède une espérance et E(X) = e − 1.
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Les moments d’une variable aléatoire
Définition 7
Soit X une variable aléatoire réelle discrète infinie sur l’espace probabilisé (V, T , P),
X(V) = {x i , i ∈ N}. Si la série de terme général x i P
[X = x i ]
converge absolument, on dit alors que X admet une espérance mathématique (ou espérance) égale au
nombre réel
E(X) =
+∞
i=0
x i P([X = x i ]).
➤ Remarques
• La définition dans le cas fini apparaît comme un cas particulier de celle-ci, une somme finie pouvant être
considérée comme la somme d’une série absolument convergente dont une infinité de termes sont nuls.
• On impose la convergence absolue de la série, car dans le cas d’une série qui est convergente mais pas absolument convergente, la somme de la série varie si l’on fait subir aux indices i une permutation arbitraire de N.
Ainsi la valeur de
+∞
i=0
x i P([X = x i ]) dépendrait de la numérotation des éléments de X(v).
• Toute variable aléatoire réelle discrète X telle que X(V) = N admet une espérance si, et seulement si, la série
de terme général n P([X = n]) converge (en effet, elle est à termes positifs).
En cas de convergence,
E(X) =
+∞
n=0
n P([X = n]) =
+∞
n=1
n P([X = n]).
• Toute variable aléatoire réelle discrète X telle que X(V) = Z admet une espérance si, et seulement si, les séries
de termes généraux nP([X = n]) et nP([X = −n]) convergent (ces séries sont à termes de signe constant donc
la convergence absolue équivaut à la convergence). En cas de convergence de ces séries, on a
E(X) =
+∞
n=1
(−n)P([X = −n]) +
+∞
n=0
nP([X = n]),
ce que l’on note
E(X) =
+∞
n=−∞
n P([X = n]).
Exemples
1. Reprenons l’exemple du sauteur en hauteur (page 243). On a X(V) = N
∗ et pour tout
n ∈ N
∗ , P([X = n]) =
1
n!
−
1
(n + 1)!
· On obtient, pour tout n ∈ N
∗ ,
n
k=1
kP([X = k]) =
n
k=1
k
k!
−
k
(k + 1)!
=
n
k=1
k
k!
−
n+1
j=2
j − 1
j!
, en posant j = k + 1,
=
n
k=1
1
k!
−
n
(n + 1)!
·
La série de terme général
1
n!
converge et a pour somme e. On a d’autre part
0
n
(n + 1)!
1
n!
et donc lim
n→+∞
n
(n + 1)!
= 0. On en déduit
lim
n→+∞
n
k=1
kP([X = k]) =
+∞
k=1
1
k!
=
+∞
k=0
1
k!
− 1 = e − 1.
La variable X possède une espérance et E(X) = e − 1.
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