Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
On obtient le même résultat pour XY et lX en écrivant, pour z ∈ (XY)(V,
[XY = z] =
(i,j)∈I×J
x i y j =z
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
et pour z ∈ lX(V),
[lX = z] =
i∈I
lx i =z
[X = x i ].
❑
➤ Remarque
Les égalités précédentes permettent de déterminer les lois de X + Y, XY et lX, connaissant, pour tout (i, j) ∈ I × J,
P
[X = x i ] ∩ [Y = y j ]
.
3. Les moments d’une variable aléatoire
3.1 L’espérance
Définition 6
Pour toute variable aléatoire réelle discrète finie X sur l’espace probabilisé (V, T , P), telle
que X(V) = {x 1 , . . . , x n }, l’espérance mathématique (ou encore espérance) de la
variable aléatoire X est le réel
E(X) =
n
i=1
x i P
[X = x i ]
.
➤ Remarques
• Toute variable aléatoire réelle discrète finie admet donc une espérance.
• L’espérance est la moyenne des valeurs prises par X pondérées par la probabilité que X prenne cette valeur.
L’espérance mathématique est donc une généralisation de la notion de moyenne.
Proposition 10
Pour tout événement A de l’espace probabilisé (V, T , P), la variable aléatoire indicatrice
1 A de l’événement A admet une espérance égal à E(1 A ) = P(A).
Pour tout réel a, la variable aléatoire réelle discrète X certaine égale à a admet a comme
espérance.
Preuve
Rappelons que la variable aléatoire indicatrice de l’événement A est la variable aléatoire
1A :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
V −→
R
v −→
1 si v ∈ A
0 si v /
∈ A
1A admet une espérance et E(1A) = 0.P
[1A = 0]
+ 1.P
[1A = 1]
= P(A).
Soit X la variable aléatoire réelle discrète certaine égale à a. On a X(V) = {a} et P
[X = a]
= 1 donc X
admet une espérance et
E(X) = a P
[X = a]
= a.
❑
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