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Variables aléatoires discrètes
2. Comme X est une variable aléatoire réelle discrète, Y est une variable aléatoire réelle
discrète et Y (V) = Ú2, +∞Û.
Pour tout entier k supérieur ou égal à 2,
P([Y = k]) = P([X = k − 1]) =
4
(k − 1)k(k + 1)
·
3. Remarquons que Z = (X − 2)
2 . Posons W = X − 2. Alors W est une variable aléatoire
discrète telle que W (V) = {k ∈ Z, k −1} et pour tout entier k −1,
P([W = k]) = P([X = k + 2]) =
4
(k + 2)(k + 3)(k + 4)
·
On en déduit que Z = W
2 est une variable aléatoire discrète et que
Z(V) = {k
2 , k ∈ W (V)} = {k
2 , k ∈ N}·
Pour tout entier k 2 et pour k = 0, on a [Z = k
2 ] = [W = k] et
P([Z = k
2 ] = P([W = k]) =
4
(k + 2)(k + 3)(k + 4)
·
Enfin [Z = 1] = [W = −1] ∪ [W = 1] et
P([Z = 1]) = P([W = −1]) + P([W = 1]) =
4
6
+
4
60
=
11
15
·
2.4 Opérations
Théorème 5
Si X et Y sont deux variables discrètes sur l’espace probabilisé (V, T , P) et l un réel, les
applications de V dans R : X + Y , XY et lX définies, pour tout v de V, par
(X + Y )(v) = X(v) + Y (v), (XY )(v) = X(v)Y (v), (lX)(v) = lX(v)
sont des variables aléatoires discrètes.
Preuve On note X = {x i , i ∈ I} et Y = {y j , j ∈ J}, où I et J sont des parties de N. On alors
(X + Y)(V) = {x i + y j , (i, j) ∈ I × J}, (XY)(V) = {x i y j , (i, j) ∈ I × J}
(lX)(V) = {lx i , i ∈ I}.
Comme I × J est une partie de N
2 donc est au plus dénombrable, ces applications ont un ensemble au plus
dénombrable de valeurs.
Pour tout z ∈ (X + Y)(V), on a
[X + Y = z] = {v, ∃(i, j) ∈ I × J, X(v) = x i , Y(v) = y j , x i + y j = z}
= {v, ∃(i, j) ∈ I × J, v ∈ [X = x i ] ∩ [Y = y j ]}
=
(i,j)∈I×J
x i +y j =z
[X = x i ] ∩ [Y = y j ].
Comme, pour tout (i, j) ∈ I × J, [X = x i ] ∩ [Y = y j ] ∈ T comme intersection d’éléments de T et que l’ensemble
{(i, j) ∈ I × J, x i + y j = z} est un sous-ensemble de I × J donc est dénombrable, [X + Y = z] est une réunion
dénombrable d’éléments de T donc est un éléments de T .
Ainsi X + Y est une variable aléatoire discrète.
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