Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Soit X la variable aléatoire discrète égale au numéro de la boule prélevée. On a donc X(V) = Z
et pour tout i ∈ Z, P([X = i]) =
1
2.3 |i| ·
Posons Y = X
2 . On obtient Y (V) = {n
2 , n ∈ Z} = {n
2 , n ∈ N} et
∀n ∈ N
∗ , P([Y = n
2 ]) = P([X = n]) + P([X = −n]) =
1
3 n
P([Y = 0]) = P([X = 0]) =
1
2
·
Exercice 2.
Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur l’espace probabilisé (V, T , P) telle que
X(V) = N
∗ et P([X = k]) =
a
k(k + 1)(k + 2)
pour tout entier naturel non nul k.
1. On pose u k =
1
2k
−
1
2(k + 1)
· Montrer que, pour tout k ∈ N
∗ , on a
1
k(k + 1)(k + 2)
= u k − u k+1 .
En déduire la valeur de a.
2. Montrer que Y = X + 1 est une variable aléatoire réelle discrète et déterminer sa loi.
3. Montrer que Z = X
2
− 4X + 4 est une variable aléatoire réelle discrète et déterminer sa
loi.
Solution.
1. En effet, pour tout k ∈ N
∗ ,
u k − u k+1 =
1
2k
−
1
2(k + 1)
−
1
2(k + 1)
+
1
2(k + 2)
=
1
2k
−
1
(k + 1)
+
1
2(k + 2)
=
(k + 1)(k + 2) − 2k(k + 2) + k(k + 1)
2k(k + 1)(k + 2)
=
1
k(k + 1)(k + 2)
·
La série de terme général
1
k(k + 1)(k + 2)
est donc une série télescopique. On obtient
n
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)
=
n
k=1
(u k − u k+1 ) = u 1 − u n+1 =
1
4
− u n+1 .
De lim
k→+∞
u k = 0, on déduit
+∞
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)
=
1
4
et donc a = 4.
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