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Variables aléatoires discrètes
➤ Remarque
En fait g(X) n’est rien d’autre que la composée g◦X. La notation s’accorde avec la terminologie qui appelle variable
l’application X.
Théorème 4
Soit X une variable aléatoire réelle discrète d’un espace probabilisé (V, T , P) et g une
application de X(V) dans R. On note X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N.
Alors l’application g(X) est une variable aléatoire réelle discrète d’image
g(X(V)) = {g(x i ), i ∈ I}.
On a, pour tout y ∈ g(X)(V),
P([g(X) = y]) =
xi∈X(V)
g(xi)=y
P([X = x i ]).
Preuve
De X(V) = {x i , i ∈ I}, on déduit
g(X)(V) = g(X(V)) = {g(x i ), i ∈ I}.
Cet ensemble est au plus dénombrable.
Pour tout y ∈ g(X)(V) et v ∈ V, on a
v ∈ [g(X) = y] ⇐⇒ g(X(v)) = y
⇐⇒ ∃i ∈ I, X(v) = x i et g(x i ) = y
⇐⇒ ∃i ∈ I, g(x i ) = y et v ∈ [X = x i ].
On a donc
[g(X) = y] =
xi ∈X(V)
g(xi )=y
[X = x i ].
Comme {i ∈ I, g(x i ) = y} est au plus dénombrable, et que X est une variable aléatoire, [g(X) = y] est un
événement car réunion au plus dénombrable d’événements. Ainsi, g(X) est une variable aléatoire discrète.
La loi de la variable aléatoire g(X) est définie par
P([g(X) = y]) = P
⎛
⎜
⎝
i∈I
g(x i )=y
[X = x i ].
⎞
⎟
⎠ =
i∈I
g(x i )=y
P([X = x i ]),
par incompatibilité des événements.
❑
Exemple
Dans une urne, contenant une infinité de boules numérotées sur Z, un joueur prélève une
boule, de façon que la probabilité que la boule numéro i soit prélevée est
1
2.3 |i| ·
La définition est raisonnable. En effet,
1
2.3 |i| 0 pour tout i ∈ Z et comme d’autre part
1
2.3 |−i| =
1
2.3 |i| , on obtient
i∈Z
1
2.3 |i| = 2
i∈N
1
2.3 |i| −
1
2 · 3 0 =
+∞
i=0
1
3 i −
1
2
=
1
1 −
1
3
−
1
2
= 1.
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