Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la dernière hauteur franchie correctement.
Déterminer la loi de X.
Solution. Pour n ∈ N
∗ , soit A n l’événement « le sauteur a franchi la hauteur n ». Par hypothèse,
on a pour tout n 2, P(A n /A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 ) =
1
n
· Par la formule des probabilités composées,
on obtient donc, pour n 1, P(A n ) =
1
n!
·
On n’est pas sûr a priori qu’il y ait une dernière hauteur franchie, c’est-à-dire que le sauteur
ne franchisse pas toutes les hauteurs. On pose X(V) = N, où [X = 0] est l’événement « le
sauteur franchit toutes les hauteurs». On a alors [X = 0] =
n∈N ∗
A n . On a pour tout n ∈ N
∗ ,
[X = 0] ⊂ A n et donc 0 P([X = 0]) P(A n )
1
n!
· On en déduit, en faisant tendre n vers
+∞, que P([X = 0]) = 0.
L’événement [X = 0] est quasi-impossible. On peut considérer que la variable X est à valeurs
dans N
∗ .
Pour tout n ∈ N
∗ , on a [X n] = A n et donc P([X n]) = P(A n ) =
1
n!
· On en déduit que
P([X = n]) = P([X n]) − P([X n + 1]) =
1
n!
−
1
(n + 1)!
·
Nous pouvons rapidement vérifier que
+∞
n=1
P([X = n]) = 1. En effet, pour N ∈ N
∗ ,
N
n=1
P([X = n]) =
N
n=1
1
n!
−
1
(n + 1)!
= 1 −
1
(N + 1)!
,
et donc
+∞
n=1
P([X = n]) = lim
N→+∞
P([X = n]) = lim
N→+∞
1 −
1
(N + 1)!
= 1.
2.3 Variable aléatoire fonction d’une variable aléatoire discrète
Définition 5
Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (V, T , P) et g une application de X(V) dans R. L’application
Y :
V −→ R
v −→ g
X(v)
est notée g(X).
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