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Variables aléatoires discrètes
Exemple
Reprenons l’exemple d’une variable aléatoire discrète X telle que X(V) = N
∗ et, pour tout
n ∈ N
∗ , P([X = n]) =
1
n(n + 1)
(cf page 241).
On a F X (x) = 0 si x < 1 et, pour tout n ∈ N
∗ et tout x ∈ [n, n + 1[,
F X (x) = P([X x]) =
n
k=1
P([X = k]) =
n
k=1
1
k(k + 1)
=
n
k=1
1
k
−
1
k + 1
= 1 −
1
n + 1
=
n
n + 1
·
Lien entre fonction de répartition et loi
Connaissant la fonction de répartition d’une variable discrète X, on peut déterminer
sa loi. Nous nous plaçons dans le cas où X(V) ⊂ Z.
Proposition 9
Soit X une variable aléatoire réelle discrète X telle que X(V) ⊂ Z. On a, pour tout
k ∈ X(V),
P([X = k]) = F X (k) − F X (k − 1).
Preuve
Pour tout entier relatif k, on a [X k − 1] ⊂ [X k] et
[X = k] = [X k] \ [X k − 1].
On en déduit que
P([X = k]) = P([X k]) − P([X k − 1]) = FX (k) − FX (k − 1).
❑
➤ Remarques
• Cette formule est utile dans les cas où il est plus simple de déterminer la fonction de répartition que la loi de la
variable aléatoire.
• En supposant toujours que X est une variable aléatoire telle que X(V) ⊂ Z, on peut démontrer de même que,
pour tout k ∈ X(V),
P([X = k]) = P([X k]) − P
[X k + 1]
.
En effet, on a [X k + 1] ⊂ [X k] et [X = k] = [X k] \ [X k + 1].
Exercice 1.
Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1, 2,. . . , n,. . . Il n’essaie de
franchir la hauteur n que s’il a réussi à passer les hauteurs précédentes. Si le sauteur a déjà réussi
les n − 1 premiers sauts (n 2), la probabilité qu’il franchisse avec succès la n-ième hauteur
est
1
n
·
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