Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
2.2 Fonction de répartition
Les fonctions de répartition des variables aléatoires discrètes possèdent toutes les propriétés démontrées dans la partie 1.2 : elles sont croissantes, ont pour limite 0 en −∞
et 1 en +∞, sont continues à droite en tout point.
D’après le théorème 1, la fonction de répartition F X d’une variable discrète X est
continue en tout point x tel que P
[X = x]
= 0 et en particulier en tout point x tel
que x /
∈ X(V), car alors [X = x] = ∅.
Les propositions suivantes précisent les propriétés de la fonction de répartition pour
une variable discrète.
Proposition 7
Soit X une variable aléatoire finie sur l’espace probabilisé (V, T , P). On pose
X(V) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } et l’on suppose que x 1 < x 2 < . . . < x n . Alors la fonction de
répartition F X est une fonction en escalier croissante. On a, plus précisément
• F X (x) = 0 si x < x 1 ;
• pour tout k ∈ Ú1, n − 1Û et tout x ∈ [x k , x k+1 [,
F X (x) = P([X = x 1 ]) + P([X = x 2 ]) + · · · + P([X = x k ]) ;
• F X (x) = 1 si x x n .
Preuve
• Si x < x1, alors [X x] = ∅ donc FX (x) = P([X x]) = 0 ;
• si k ∈ Ú1, n − 1Û et x ∈ [xk, x k+1[ , [X x] = [X = x1] ∪ [X = x2] ∪ · · · ∪ [X = x k ] et
FX (x) = P([X x]) = P([X = x1]) + P([X = x2]) + · · · + P([X = x k ]) ;
• si x xn, [X x] = V et FX (x) = P([X x]) = 1.
❑
➤ Remarque
Dans le cas où X(V) est dénombrable, la fonction de répartition d’une telle variable aléatoire réelle discrète est une
fonction « en escalier généralisé », possédant une infinité de discontinuités.
Examinons le cas d’une variable aléatoire à valeurs dans Z.
Proposition 8
Soit X une variable aléatoire réelle discrète dans un espace probabilisé (V, T , P) telle que
X(V) ⊂ Z. Alors, pour tout entier n ∈ Z, la fonction F X est constante sur [n, n + 1[.
Preuve Soit n ∈ Z et x dans [n, n + 1[. On a alors
FX (x) = P
[X x]
= P
[X n]
+ P
[n < X x]
= FX (n) + P
[n < X x]
.
Mais P
[n < X x]
= 0, puisque ]n, n + 1[∩X(V) = ∅. On obtient donc FX (x) = FX (n), et FX est constante
sur [n, n + 1[.
❑
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2.2 Fonction de répartition
Les fonctions de répartition des variables aléatoires discrètes possèdent toutes les propriétés démontrées dans la partie 1.2 : elles sont croissantes, ont pour limite 0 en −∞
et 1 en +∞, sont continues à droite en tout point.
D’après le théorème 1, la fonction de répartition F X d’une variable discrète X est
continue en tout point x tel que P
[X = x]
= 0 et en particulier en tout point x tel
que x /
∈ X(V), car alors [X = x] = ∅.
Les propositions suivantes précisent les propriétés de la fonction de répartition pour
une variable discrète.
Proposition 7
Soit X une variable aléatoire finie sur l’espace probabilisé (V, T , P). On pose
X(V) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } et l’on suppose que x 1 < x 2 < . . . < x n . Alors la fonction de
répartition F X est une fonction en escalier croissante. On a, plus précisément
• F X (x) = 0 si x < x 1 ;
• pour tout k ∈ Ú1, n − 1Û et tout x ∈ [x k , x k+1 [,
F X (x) = P([X = x 1 ]) + P([X = x 2 ]) + · · · + P([X = x k ]) ;
• F X (x) = 1 si x x n .
Preuve
• Si x < x1, alors [X x] = ∅ donc FX (x) = P([X x]) = 0 ;
• si k ∈ Ú1, n − 1Û et x ∈ [xk, x k+1[ , [X x] = [X = x1] ∪ [X = x2] ∪ · · · ∪ [X = x k ] et
FX (x) = P([X x]) = P([X = x1]) + P([X = x2]) + · · · + P([X = x k ]) ;
• si x xn, [X x] = V et FX (x) = P([X x]) = 1.
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➤ Remarque
Dans le cas où X(V) est dénombrable, la fonction de répartition d’une telle variable aléatoire réelle discrète est une
fonction « en escalier généralisé », possédant une infinité de discontinuités.
Examinons le cas d’une variable aléatoire à valeurs dans Z.
Proposition 8
Soit X une variable aléatoire réelle discrète dans un espace probabilisé (V, T , P) telle que
X(V) ⊂ Z. Alors, pour tout entier n ∈ Z, la fonction F X est constante sur [n, n + 1[.
Preuve Soit n ∈ Z et x dans [n, n + 1[. On a alors
FX (x) = P
[X x]
= P
[X n]
+ P
[n < X x]
= FX (n) + P
[n < X x]
.
Mais P
[n < X x]
= 0, puisque ]n, n + 1[∩X(V) = ∅. On obtient donc FX (x) = FX (n), et FX est constante
sur [n, n + 1[.
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