© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variables aléatoires discrètes
un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X sur V telle que
X(V) ⊂ {x 1 , x 2 , . . . , x m } et
∀k ∈ Ú1, mÛ, P([X = x k ]) = p k .
• Si (x n ) est une suites de réels et (p n ) une suite de réels positifs tels que
+∞
n=0
p n = 1, alors
il existe un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X sur V telle que
X(V) ⊂ {x n , n ∈ N} et
∀k ∈ N, P([X = x k ]) = p k .
➤ Remarque
La condition ne porte que sur les pn. Ce théorème est à rapprocher des théorèmes 3 et 5 du chapitre 7 qui traitent
de la façon de définir une probabilité sur un espace probabilisé dont l’univers est fini ou dénombrable.
Les conditions sur les P([X = x k ]) signifient qu’il existe une probabilité sur
X(V), P(X(V))
pour laquelle la probabilité de l’événement élémentaire {x k } est P
[X = x k ]
.
Exemple
On pose, pour tout n ∈ N
∗ , p n =
1
n(n + 1)
. On a, pour tout n ∈ N
∗ , p n > 0. On remarque
que, pour tout n ∈ N
∗ , p n =
1
n
−
1
n + 1
. La série de terme général p n est une série télescopique
donc, pour tout N ∈ N
∗ ,
N
n=1
p n =
N
n=1
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
N + 1
·
On en déduit que la série de terme général p n converge et
+∞
n=1
p n = lim
N→+∞
1 −
1
N + 1
= 1·
Il existe donc un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire discrète sur cet espace
probabilisé telle que X(V) = N
∗ et, pour tout n ∈ N
∗ , P([X = n]) =
1
n(n + 1)
·
➤ Remarque
Si deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur un même espace probabilisé ont même loi, cela
ne signifie nullement que ces variables sont égales.
En effet, les variables X et Y ont même loi si X(V) = Y(V) et si, pour tout x ∈ X(V), P([X = x]) = P([Y = x]).
Mais l’égalité X = Y signifie que, pour tout v ∈ V, X(v) = Y(v) c’est-à-dire, pour tout x ∈ X(V), l’égalité
[X = x] = [Y = x]. Que les ensembles [X = x] et [Y = x] aient même probabilité ne signifie pas qu’ils sont égaux.
Exemple
On lance une pièce équilibrée. On note X le nombre de pile, Y le nombre de face. On a
X(V) = Y (V) = {0, 1}, P([X = 0]) = P([X = 1]) =
1
2
et P([Y = 0]) = P([Y = 1]) =
1
2
·
Les variables X et Y ont même loi, mais X n’est pas égal à Y . En effet, pour tout v ∈ V,
X(v) = 1 ⇐⇒ Y (v) = 0,
car si on obtient pile, on n’obtient pas face.
241
Variables aléatoires discrètes
un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X sur V telle que
X(V) ⊂ {x 1 , x 2 , . . . , x m } et
∀k ∈ Ú1, mÛ, P([X = x k ]) = p k .
• Si (x n ) est une suites de réels et (p n ) une suite de réels positifs tels que
+∞
n=0
p n = 1, alors
il existe un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire X sur V telle que
X(V) ⊂ {x n , n ∈ N} et
∀k ∈ N, P([X = x k ]) = p k .
➤ Remarque
La condition ne porte que sur les pn. Ce théorème est à rapprocher des théorèmes 3 et 5 du chapitre 7 qui traitent
de la façon de définir une probabilité sur un espace probabilisé dont l’univers est fini ou dénombrable.
Les conditions sur les P([X = x k ]) signifient qu’il existe une probabilité sur
X(V), P(X(V))
pour laquelle la probabilité de l’événement élémentaire {x k } est P
[X = x k ]
.
Exemple
On pose, pour tout n ∈ N
∗ , p n =
1
n(n + 1)
. On a, pour tout n ∈ N
∗ , p n > 0. On remarque
que, pour tout n ∈ N
∗ , p n =
1
n
−
1
n + 1
. La série de terme général p n est une série télescopique
donc, pour tout N ∈ N
∗ ,
N
n=1
p n =
N
n=1
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
N + 1
·
On en déduit que la série de terme général p n converge et
+∞
n=1
p n = lim
N→+∞
1 −
1
N + 1
= 1·
Il existe donc un espace probabilisé (V, T , P) et une variable aléatoire discrète sur cet espace
probabilisé telle que X(V) = N
∗ et, pour tout n ∈ N
∗ , P([X = n]) =
1
n(n + 1)
·
➤ Remarque
Si deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur un même espace probabilisé ont même loi, cela
ne signifie nullement que ces variables sont égales.
En effet, les variables X et Y ont même loi si X(V) = Y(V) et si, pour tout x ∈ X(V), P([X = x]) = P([Y = x]).
Mais l’égalité X = Y signifie que, pour tout v ∈ V, X(v) = Y(v) c’est-à-dire, pour tout x ∈ X(V), l’égalité
[X = x] = [Y = x]. Que les ensembles [X = x] et [Y = x] aient même probabilité ne signifie pas qu’ils sont égaux.
Exemple
On lance une pièce équilibrée. On note X le nombre de pile, Y le nombre de face. On a
X(V) = Y (V) = {0, 1}, P([X = 0]) = P([X = 1]) =
1
2
et P([Y = 0]) = P([Y = 1]) =
1
2
·
Les variables X et Y ont même loi, mais X n’est pas égal à Y . En effet, pour tout v ∈ V,
X(v) = 1 ⇐⇒ Y (v) = 0,
car si on obtient pile, on n’obtient pas face.
241