Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Si i et j sont deux éléments de I distincts, on a x i = x j , donc les événements [X = x i ] et [X = x j ] sont
incompatibles. On a enfin,
i∈I
[X = x i ] = V
car, pour tout v ∈ V, il existe i ∈ I tel que X(v) = x i , et donc v appartient à [X = x i ].
❑
Loi d’une variable aléatoire discrète
Définition 4
Si X une variable aléatoire discrète X de l’espace probabilisé (V, T , P), l’application
X(V) −→ R
x
−→ P([X = x])
est appelée loi de probabilité ou distribution de X et est notée P X .
➤ Remarque
Déterminer la loi de X, c’est donc déterminer X(V) et calculer, pour tout x ∈ X(V), la probabilité P([X = x]). Si
X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N, on détermine la famille (p i ) i∈I , où p i = P([X = x i ]).
Proposition 6
Soit X une variable discrète de l’espace probabilisé (V, T , P).
• Si X est une variable finie telle que X(V) = {x 1 , x 2 , . . . , x n }, on a
n
k=1
P([X = x k ]) = 1.
• Si X est une variable aléatoire discrète infinie et X(V) = {x k , k ∈ N}, on a
∞
k=0
P([X = x k ]) = 1.
Preuve
L’égalité est vérifiée car la famille
[X = x k ]
1kn
dans le premier cas,
[X = x k ]
k∈N
dans le second est un
système complet d’événements.
❑
Nous admettrons que la proposition 6 énonce des conditions suffisantes pour qu’une
application soit une loi de probabilité. Plus précisément, nous avons le théorème
suivant :
Théorème 3
• Si m est un entier naturel non nul, (x 1 , x 2 , . . . , x m ) un m-uplet de réels et
(p 1 , p 2 , . . . , p m ) un m-uplet de réels positifs tel que
m
i=1
p i = 1, alors il existe
240