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Variables aléatoires discrètes
donc [X = n] est un événement. Il en est de même de
[X = 0] =
+∞
k=1
A k ,
qui est une intersection dénombrable d’événements.
Ainsi X est une variable aléatoire sur
V, T
.
Comme nous le verrons par la suite (page 264), la probabilité de l’événement [X = 0] est
nulle.
Proposition 4
Pour tout espace probabilisable (V, T ) et pour tout réel a, l’application
X :
V −→ R
v −→ a
est une variable aléatoire discrète finie appelée variable aléatoire constante ou certaine.
Preuve
L’ensemble X(V) = {a} est fini et {v ∈ V, X(v) = a} = V, donc X est une variable aléatoire finie d’après la
proposition 3.
❑
Proposition 5
Pour tout espace probabilisable (V, T ) et tout événement A, l’application
X :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
V −→ R
v −→
1 si v ∈ A
0 si v /
∈ A
est une variable aléatoire discrète finie appelée la variable aléatoire indicatrice de
l’événement A, notée généralement 1 A .
Preuve
En effet X(V) = {0, 1} est fini et [X = 0] = A ∈ T et [X = 1] = A ∈ T . Donc X est une variable aléatoire
discrète d’après la proposition 3.
❑
Théorème 2
Soit X une variable aléatoire discrète de l’espace probabilisable (V, T ). On note
X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N. Alors la famille ([X = x i ]) i∈I est un système
complet d’événements, appelé le système complet d’événements associé à X.
Preuve
Par définition d’une variable aléatoire, [X = x i ] est un événement pour tout i ∈ I. Donc ([X = x i ]) i∈I est une
famille finie ou dénombrable d’événements.
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