Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Les ensembles N, Z, Q, N
2 sont dénombrables. Toute partie infinie d’un ensemble dénombrable est dénombrable. Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
L’ensemble R des réels, l’ensemble P(N) des parties de N, ne sont pas dénombrables
• Tout ensemble E fini ou dénombrable peut s’écrire sous la forme E = {x i i ∈ I} où I est une partie de N et
l’application i −→ x i une bijection de I sur E (on peut prendre I = N si E est dénombrable, I = Ú1, nÛ si E est
fini de cardinal n).
Dans la suite de ce chapitre, si X est une variable aléatoire discrète, nous noterons donc X(V) = {x i , i ∈ I} où
I est une partie de N.
La plupart du temps on aura X(V) ⊂ N ou X(V) ⊂ Z.
Proposition 3
Soit (V, T ) un espace probabilisable et X une application de V dans R telle que X(V) soit
fini ou dénombrable. On note X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N.
Alors X est une variable aléatoire réelle discrète si, et seulement si,
∀i ∈ I, [X = x i ] ∈ T .
Preuve
Comme X(V) est au plus dénombrable, si X est une variable aléatoire, c’est une variable aléatoire réelle discrète.
Nous savons déjà, par la proposition 1, que si X est une variable aléatoire alors, pour tout i ∈ I, [X = x i ] est un
événement.
Supposons réciproquement que cette condition est réalisée. Montrons alors que X est une variable aléatoire
réelle, c’est-à-dire que, pour tout réel x, {v ∈ V, X(v) x} est un élément de la tribu T .
Comme X(V) = {x i , i ∈ I}, on a
{v ∈ V, X(v) x} = {v ∈ V, ∃i ∈ I, X(v) = x i et x i x}
= {v ∈ V, ∃i ∈ I, v ∈ [X = x i ] et x i x}
=
i∈I
xi x
[X = x i ].
Comme [X = x i ] est un élément de T pour tout i de I et que {i ∈ I, x i x} est fini ou dénombrable, alors
{v ∈ V, X(v) x} est une réunion au plus dénombrable d’éléments de T , donc un élément T (d’après les
propriétés de l’ensemble T des événements).
❑
Exemple
Dans une urne composée de boules rouges et de boules blanches, nous tirons une boule jusqu’à
l’obtention d’une boule rouge. Les tirages se font avec remise après chaque tirage.
Soit X l’application de V dans N qui, à tout élément de l’univers des possibles V, associe
le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule rouge pour la première fois et 0 si
tous les tirages donnent une boule blanche. On admet qu’on peut modéliser l’expérience par
un espace probabilisé (V, T , P) tel que, pour tout n, A n : « tirer une boule rouge au n-ième
tirage » soit un événement. On a alors, pour tout n ∈ N
∗ ,
[X = n] = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n−1 ∩ A n ,
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Les ensembles N, Z, Q, N
2 sont dénombrables. Toute partie infinie d’un ensemble dénombrable est dénombrable. Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
L’ensemble R des réels, l’ensemble P(N) des parties de N, ne sont pas dénombrables
• Tout ensemble E fini ou dénombrable peut s’écrire sous la forme E = {x i i ∈ I} où I est une partie de N et
l’application i −→ x i une bijection de I sur E (on peut prendre I = N si E est dénombrable, I = Ú1, nÛ si E est
fini de cardinal n).
Dans la suite de ce chapitre, si X est une variable aléatoire discrète, nous noterons donc X(V) = {x i , i ∈ I} où
I est une partie de N.
La plupart du temps on aura X(V) ⊂ N ou X(V) ⊂ Z.
Proposition 3
Soit (V, T ) un espace probabilisable et X une application de V dans R telle que X(V) soit
fini ou dénombrable. On note X(V) = {x i , i ∈ I}, où I est une partie de N.
Alors X est une variable aléatoire réelle discrète si, et seulement si,
∀i ∈ I, [X = x i ] ∈ T .
Preuve
Comme X(V) est au plus dénombrable, si X est une variable aléatoire, c’est une variable aléatoire réelle discrète.
Nous savons déjà, par la proposition 1, que si X est une variable aléatoire alors, pour tout i ∈ I, [X = x i ] est un
événement.
Supposons réciproquement que cette condition est réalisée. Montrons alors que X est une variable aléatoire
réelle, c’est-à-dire que, pour tout réel x, {v ∈ V, X(v) x} est un élément de la tribu T .
Comme X(V) = {x i , i ∈ I}, on a
{v ∈ V, X(v) x} = {v ∈ V, ∃i ∈ I, X(v) = x i et x i x}
= {v ∈ V, ∃i ∈ I, v ∈ [X = x i ] et x i x}
=
i∈I
xi x
[X = x i ].
Comme [X = x i ] est un élément de T pour tout i de I et que {i ∈ I, x i x} est fini ou dénombrable, alors
{v ∈ V, X(v) x} est une réunion au plus dénombrable d’éléments de T , donc un élément T (d’après les
propriétés de l’ensemble T des événements).
❑
Exemple
Dans une urne composée de boules rouges et de boules blanches, nous tirons une boule jusqu’à
l’obtention d’une boule rouge. Les tirages se font avec remise après chaque tirage.
Soit X l’application de V dans N qui, à tout élément de l’univers des possibles V, associe
le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule rouge pour la première fois et 0 si
tous les tirages donnent une boule blanche. On admet qu’on peut modéliser l’expérience par
un espace probabilisé (V, T , P) tel que, pour tout n, A n : « tirer une boule rouge au n-ième
tirage » soit un événement. On a alors, pour tout n ∈ N
∗ ,
[X = n] = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n−1 ∩ A n ,
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