© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Variables aléatoires discrètes
On observe que
+∞
n=1
X x −
1
n
= [X < x]. En effet, on a clairement
+∞
n=1
X x −
1
n
⊂ [X < x] et
d’autre part, si un élément v de V appartient à [X < x], on a X(v) < x, i.e. x − X(v) > 0 ; pour n assez
grand, on obtient alors
1
n
x − X(v) et donc X(v) x −
1
n
, c’est-à-dire v ∈
X x −
1
n
; ainsi v
appartient à
+∞
n=1
X x −
1
n
.
Il en résulte que
lim
t→x
t
Comme [X x] = [X < x] ∩ [X = x] et que ces événements sont incompatibles, on a de plus,
P
[X < x]
= P
[X x]
− P
[X = x]
= FX (x) − P([X = x]).
❑
Corollaire 1
Pour toute variable aléatoire réelle X de l’espace probabilisé (V, T , P), la fonction de
répartition de X est continue en x si, et seulement si, P([X = x]) = 0.
Preuve
D’après le théorème précédent FX est continue à droite en tout point de R. Par suite FX est continue en x
si, et seulement si, FX est continue à gauche en x, donc si, et seulement si, lim
t→x
t
FX (x) − P([X = x]) = FX (x). Ainsi FX est continue en x si, et seulement si, P([X = x]) = 0.
❑
2. Variables aléatoires discrètes
2.1 Définition
Définition 3
Dans un espace probabilisable (V, T ), toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V)
est au plus dénombrable, c’est-à-dire finie ou dénombrable, est appelée variable aléatoire
discrète.
Plus précisément
• toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V) est finie, est une variable aléatoire
réelle discrète finie ;
• toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V) est infinie dénombrable, est une
variable aléatoire réelle discrète infinie.
Dit autrement, toute variable aléatoire à valeurs dans une partie au plus dénombrable de
R est une variable aléatoire discrète.
➤ Remarques
• Si V est fini ou dénombrable, T = P(V), et toute application de V dans R est une variable aléatoire
dont l’image est au plus dénombrable ; c’est une variable aléatoire discrète.
• On rappelle qu’un ensemble E est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec N : les éléments de E peuvent
donc être indexés par N.
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Variables aléatoires discrètes
On observe que
+∞
n=1
X x −
1
n
= [X < x]. En effet, on a clairement
+∞
n=1
X x −
1
n
⊂ [X < x] et
d’autre part, si un élément v de V appartient à [X < x], on a X(v) < x, i.e. x − X(v) > 0 ; pour n assez
grand, on obtient alors
1
n
x − X(v) et donc X(v) x −
1
n
, c’est-à-dire v ∈
X x −
1
n
; ainsi v
appartient à
+∞
n=1
X x −
1
n
.
Il en résulte que
lim
t→x
t
Comme [X x] = [X < x] ∩ [X = x] et que ces événements sont incompatibles, on a de plus,
P
[X < x]
= P
[X x]
− P
[X = x]
= FX (x) − P([X = x]).
❑
Corollaire 1
Pour toute variable aléatoire réelle X de l’espace probabilisé (V, T , P), la fonction de
répartition de X est continue en x si, et seulement si, P([X = x]) = 0.
Preuve
D’après le théorème précédent FX est continue à droite en tout point de R. Par suite FX est continue en x
si, et seulement si, FX est continue à gauche en x, donc si, et seulement si, lim
t→x
t
FX (x) − P([X = x]) = FX (x). Ainsi FX est continue en x si, et seulement si, P([X = x]) = 0.
❑
2. Variables aléatoires discrètes
2.1 Définition
Définition 3
Dans un espace probabilisable (V, T ), toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V)
est au plus dénombrable, c’est-à-dire finie ou dénombrable, est appelée variable aléatoire
discrète.
Plus précisément
• toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V) est finie, est une variable aléatoire
réelle discrète finie ;
• toute variable aléatoire réelle X dont l’image X(V) est infinie dénombrable, est une
variable aléatoire réelle discrète infinie.
Dit autrement, toute variable aléatoire à valeurs dans une partie au plus dénombrable de
R est une variable aléatoire discrète.
➤ Remarques
• Si V est fini ou dénombrable, T = P(V), et toute application de V dans R est une variable aléatoire
dont l’image est au plus dénombrable ; c’est une variable aléatoire discrète.
• On rappelle qu’un ensemble E est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec N : les éléments de E peuvent
donc être indexés par N.
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