Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Théorème 1
Soit F X la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X de l’espace probabilisé
(V, T , P).
Alors F X est continue à droite en tout point de R, c’est-à-dire que
∀x ∈ R, lim
t→x
t>x
F X (t) = F X (x)
et d’autre part,
∀x ∈ R lim
t→x
t F X (t) = F X (x) − P([X = x]) = P([X < x]).
Preuve On peut admettre ces propriétés. Leur démonstration nécessite l’utilisation des résultats de l’exercice 1,
page 203 du chapitre 7 (propriété de la limite monotone).
Soit x un réel. La fonction FX est croissante sur ]x, +∞[ et minorée par FX (x). Elle admet donc une limite finie
à droite en x et, par composition des limites,
lim
t→x
t>x
FX (t) = lim
n→+∞
FX
x +
1
n
= lim
n→+∞
P
X x +
1
n
.
La suite
X x +
1
n
n∈N ∗
est une suite décroissante d’événements, car pour tout n ∈ N ∗ , on a
X x +
1
n + 1
⊂
X x +
1
n
donc, d’après l’exercice précité, on obtient
lim
n→+∞
P
X x +
1
n
= P
+∞
n=1
X x +
1
n
.
On observe que
+∞
n=1
X x +
1
n
= [X x]. En effet, on a clairement [X x] ⊂
+∞
n=1
X x +
1
n
et si
un élément v de V appartient à
+∞
n=1
X x +
1
n
, on a pour tout n ∈ N ∗ , X(v) x +
1
n
et par passage à
la limite X(v) x, c’est-à-dire v ∈ [X x].
Il en résulte
lim
t→x
t FX (t) = P([X x]) = FX (x)
et FX est continue à droite en tout point de R.
La fonction FX est croissante sur ] − ∞, x[ et majorée par FX (x). Elle admet donc une limite finie à gauche en
x et, par composition des limites,
lim
t→x
t FX (t) = lim
n→+∞
FX
x −
1
n
= lim
n→+∞
P
X x −
1
n
.
La suite
X x −
1
n
n∈N ∗
est une suite croissante d’événements donc, en vertu du même exercice, on
obtient
lim
n→+∞
P
X x −
1
n
= P
+∞
n=1
X x −
1
n
.
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