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Une application liée à une expérience aléatoire : la variable aléatoire
➤ Remarques
• Cette définition est justifiée car, pour tout réel x, [X x] est un événement, donc on peut calculer sa probabilité.
• La fonction de répartition est définie sur R et pas seulement sur l’ensemble X(V) des valeurs prises par l’application X. Elle est à valeurs dans [0, 1].
Proposition 2
La fonction de répartition F X d’une variable aléatoire réelle X est une fonction croissante
sur R qui vérifie, de plus,
lim
x→−∞
F X (x) = 0
et
lim
x→+∞
F X (x) = 1.
Preuve
Soient x et y deux réels tels que x y. On a alors ]−∞, x] ⊂ ]−∞, y]. On en déduit
X ∈ ]−∞, x]
⊂
X ∈ ]−∞, y]
, i.e. [X x] ⊂ [X y]. Par croissance de P, on obtient
P
[X x]
P
[X y]
, c’est-à-dire FX (x) FX (y).
La fonction FX est croissante et minorée par 0, donc elle admet une limite finie en −∞ et
lim
x→−∞
FX (x) = lim
n→+∞
FX (−n) = lim
n→+∞
P([X −n]).
On peut écrire [X −n] =
+∞
k=n
[−k − 1 < X −k]. Ces événements étant incompatibles, on en déduit
que, pour tout n ∈ N,
P
[X −n]
=
+∞
k=n
P
[−k − 1 < X −k]
.
La série de terme général P
[−k − 1 < X −k]
est donc convergente et l’égalité précédente montre que
P
[−X −n]
est le reste d’ordre n − 1 de la série. Celui-ci a pour limite 0 quand n tend vers +∞. On a
donc
lim
n→+∞
FX (−n) = 0 et
lim
x→−∞
FX (x) = 0.
De même, la fonction FX , qui est croissante et majorée par 1, admet une limite finie en +∞ et
lim
x→+∞
FX (x) = lim
n→+∞
FX (n) = lim
n→+∞
P([X n]).
On note que [X n] = [X > n] et que [X > n] =
+∞
k=n
[k < X k + 1]. Comme ces événements sont
incompatibles, on a
P
[X > n]
=
+∞
k=n
P
[k < X k + 1]
.
La série de terme général P
[k < X k + 1]
est donc convergente et l’égalité précédente montre que
P
[X > n]
est le reste d’ordre n − 1 de la série. Celui-ci a pour limite 0 quand n tend vers +∞. Comme
FX (n) = P
[X n]
= 1 − P
[X > n]
, on a donc
lim
n→+∞
FX (n) = 1 et
lim
x→+∞
FX (x) = 1.
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