Chapitre 8 – Variables aléatoires réelles discrètes
Proposition 1
Si X est une variable aléatoire réelle sur (V, T ) alors, pour tout intervalle I de R, l’ensemble {v ∈ V, X(v) ∈ I} est un événement (i.e. appartient à T ).
En particulier, pour tout réel x, l’ensemble {v ∈ V, X(v) = x} appartient à T .
Par définition d’une variable aléatoire réelle, la proposition est vérifiée pour tout
intervalle de la forme ]−∞, x]. Elle reste vraie pour tout intervalle de R, car un tel
intervalle peut s’écrire à partir de réunions et intersections dénombrables d’intervalles
de la forme ]−∞, x] ou de leur complémentaire. L’ensemble {v ∈ V, X(v) = x}
correspond au cas où I est l’intervalle [x, x].
Notations
Pour tout réel x, l’ensemble {v ∈ V, X(v) x} est l’image réciproque de ]−∞, x]
par l’application X ; il est noté habituellement X −1 (]−∞, x]). Rappelons que cette
notation ne signifie nullement que X est bijective. Dans le langage des variables aléatoires, on le note [X x]. On écrit de même, pour tout réel x,
[X = x] = X
−1 ({x}) = {v ∈ V, X(v) = x},
[X x] = X
−1 ([x, +∞[) = {v ∈ V, X(v) x},
[X < x] = X
−1 (] − ∞, x[) = {v ∈ V, X(v) < x},
[X > x] = X
−1 (]x, +∞[) = {v ∈ V, X(v) > x},
On remarque que
[X x] = [X < x] ∪ [X = x].
De même, on écrit, pour tous réels a et b,
[a X b] = X
−1 ([a, b]) = {v ∈ V, a X(v) b}
et plus généralement, pour toute partie I de R,
[X ∈ I] = X
−1 (I) = {v ∈ V X(v) ∈ I}.
On rappelle que X(V) désigne l’ensemble des images par X des éléments de V, c’està-dire l’ensemble des valeurs prises par l’application X.
1.2 Fonction de répartition
Définition 2
Pour toute variable aléatoire réelle X de l’espace probabilisé (V, T , P), l’application
F X :
R −→
R
x −→ P([X x])
est appelée la fonction de répartition de X.
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