EXERCICES
10.
On lance une pièce équilibrée n fois (n 2). Pour tout k ∈ [[1, n]], A k désigne
l’événement « on obtient pile au k-ième lancer ». Soit A n+1 l’événement « le nombre de piles
obtenus au cours des n lancers est pair ».
1. Déterminer les probabilités des événements A k , k = 1, 2, . . . , n + 1.
2. a. Déterminer la probabilité
P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ∩ A n+1 ).
b. En déduire que les événements A 1 , . . . , A n+1 ne sont pas mutuellement indépendants.
3. Montrer que toute sous-famille de n événements choisis parmi A 1 , . . . , A n , A n+1 est formée
d’événements mutuellement indépendants.
11.
Inégalités de Boole
Soit (A n ) n∈N une suite d’événements d’un espace probabilisé. Montrer que :
1. pour tout entier n, P
n
i=1
A i
n
i=1
P(A i ) et P
n
i=1
A i
1 −
n
i=1
P(A i ) ;
2. si la série
P(A n ) converge, P
i∈N
A i
+∞
i=0
P(A i ).
Pour cette question, on pourra utiliser les résultats de l’exercice 1 page 203.
12.
Lemme de Borel-Cantelli
On admettra dans cet exercice l’inégalité de Boole (résultat de la seconde question de l’exercice
11.).
Soit (V, T , P) un espace probabilisé et (A n ) une suite d’événements. Pour tout k ∈ N, on
pose C k =
+∞
p=k
A p .
1. Montrer que l’événement B : « une infinité d’événements A n se réalisent »
s’écrit B =
+∞
k=0
C k .
2. On suppose que la série
P(A n ) converge. Montrer que, pour tout k ∈ N, on a
P(B) P(C k )
+∞
p=k
P(A p ).
En déduire que P(B) = 0.
3. On suppose que les événements A n sont mutuellement indépendants et que la série
P(A n ) diverge.
a. Soit k ∈ N. Montrer que, pour tout entier N k, on a P(C k )
N
p=k
P(A p ).
b. Montrer que lim
N→+∞
N
p=k
P(A p ) = 0 (on utilisera la fonction logarithme).
231