Chapitre 7 – Espaces probabilisés
7.
On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
1. Soit E n l’événement « une somme de 5 apparaît au n-ième double lancer et sur les n − 1
premiers doubles lancers ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît ».
Calculer P(E n )
2. Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 5.
3. Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 7.
4. Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
8.
Le tournoi
Des joueurs notés A 1 , A 2 , . . . (il y a une infinité de joueurs) s’affrontent à pile ou face, avec
une pièce honnête, de la façon suivante : A 1 et A 2 commencent , le perdant est éliminé et
le gagnant rencontre A 3 , le perdant est éliminé et le gagnant rencontre A 4 , . . . Est déclaré
vainqueur le joueur qui gagne trois parties consécutives et le jeu s’arrête alors.
Pour n 1, on note p n la probabilité que A n gagne le tournoi et q n la probabilité qu’il joue.
1. Montrer que p n =
1
8
q n .
2. Calculer q n pour n 4. Montrer que, pour n 5, q n =
1
2
q n−1 +
1
4
q n−2 .
3. Calculer q n , puis p n pour tout n.
9.
On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité
p (0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1 − p. On s’intéresse au nombre de lancers
nécessaires pour obtenir deux piles de suite (c’est-à-dire lors de deux lancers consécutifs).
Pour tout entier n 1, on note U n l’événement « on obtient deux piles de suite, pour la
première fois, aux lancers numéro n et n + 1 », A n l’événement « les n premiers lancers ne
donnent pas deux piles de suite et le n-ième lancer donne pile » et B n l’événement « les n
premiers lancers ne donnent pas deux piles de suite et le n-ième lancer donne face ».
Enfin, et on pose u n = P(U n ), x n = P(A n ), y n = P(B n ).
1. a. Déterminer x 1 , y 1 , u 1 , x 2 , y 2 , u 2 , x 3 , y 3 , u 3 .
b. Trouver pour n 1, une relation simple entre x n et u n .
c. Pour tout n 1, déterminer les probabilités conditionnelles
P(A n+1 /A n ), P(A n+1 /B n ), P(B n+1 /A n ), P(B n+1 /B n ).
d. En déduire, pour tout n 1, les relations suivantes
x n+1 =
py n
y n+1 = q(x n + y n ).
2. On suppose que p =
1
2 ·
a. Déterminer une relation de récurrence entre y n+1 , y n et y n−1 .
b. En déduire, pour tout n 1, une expression de x n puis de u n , en fonction de n.
c. Vérifier que
∞
n=1
u n = 1, et en donner une interprétation.
230
7.
On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
1. Soit E n l’événement « une somme de 5 apparaît au n-ième double lancer et sur les n − 1
premiers doubles lancers ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît ».
Calculer P(E n )
2. Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 5.
3. Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 7.
4. Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
8.
Le tournoi
Des joueurs notés A 1 , A 2 , . . . (il y a une infinité de joueurs) s’affrontent à pile ou face, avec
une pièce honnête, de la façon suivante : A 1 et A 2 commencent , le perdant est éliminé et
le gagnant rencontre A 3 , le perdant est éliminé et le gagnant rencontre A 4 , . . . Est déclaré
vainqueur le joueur qui gagne trois parties consécutives et le jeu s’arrête alors.
Pour n 1, on note p n la probabilité que A n gagne le tournoi et q n la probabilité qu’il joue.
1. Montrer que p n =
1
8
q n .
2. Calculer q n pour n 4. Montrer que, pour n 5, q n =
1
2
q n−1 +
1
4
q n−2 .
3. Calculer q n , puis p n pour tout n.
9.
On effectue une suite de lancers d’une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu’à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité
p (0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1 − p. On s’intéresse au nombre de lancers
nécessaires pour obtenir deux piles de suite (c’est-à-dire lors de deux lancers consécutifs).
Pour tout entier n 1, on note U n l’événement « on obtient deux piles de suite, pour la
première fois, aux lancers numéro n et n + 1 », A n l’événement « les n premiers lancers ne
donnent pas deux piles de suite et le n-ième lancer donne pile » et B n l’événement « les n
premiers lancers ne donnent pas deux piles de suite et le n-ième lancer donne face ».
Enfin, et on pose u n = P(U n ), x n = P(A n ), y n = P(B n ).
1. a. Déterminer x 1 , y 1 , u 1 , x 2 , y 2 , u 2 , x 3 , y 3 , u 3 .
b. Trouver pour n 1, une relation simple entre x n et u n .
c. Pour tout n 1, déterminer les probabilités conditionnelles
P(A n+1 /A n ), P(A n+1 /B n ), P(B n+1 /A n ), P(B n+1 /B n ).
d. En déduire, pour tout n 1, les relations suivantes
x n+1 =
py n
y n+1 = q(x n + y n ).
2. On suppose que p =
1
2 ·
a. Déterminer une relation de récurrence entre y n+1 , y n et y n−1 .
b. En déduire, pour tout n 1, une expression de x n puis de u n , en fonction de n.
c. Vérifier que
∞
n=1
u n = 1, et en donner une interprétation.
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