EXERCICES
5.
Un enfant saute d’un sommet à l’autre d’un triangle de sommets A, B, C tracé sur le
sol de la manière suivante :
• s’il est au sommet A ou au sommet B, il sautera vers l’un des trois sommets du triangle avec
la même probabilité ;
• s’il est au sommet C, il saute toujours vers le sommet A.
Avant le premier saut, l’enfant se trouve en A (resp. B, resp. C) avec une probabilité a 0 (resp.
b 0 , resp. c 0 ). La probabilité que l’enfant soit A (rep. B, resp. C) après le n-ième saut est notée
a n (resp. b n , resp. c n ). On pose X n =
a n
b n
c n
.
1. Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M 3 (R) telle que pour tout entier n on ait
X n+1 = AX n .
En déduire que, pour tout n ∈ N, on a X n = A
n X 0 .
2. Montrer que A est semblable à la matrice
⎛
⎝
0 0 0
0 −
1
3
0
0 0 1
⎞
⎠ .
Calculer A
n ; en déduire a n , b n , c n pour tout n ∈ N.
6.
On dispose d’un dé équilibré et d’une urne qui à l’origine contient une boule
blanche. On effectue une suite de lancers successifs avec le dé et à chaque fois que l’on obtient
un résultat différent du six, on ajoute une boule rouge dans l’urne. Lorsque l’on obtient le
premier six, on tire une boule de l’urne, et l’expérience s’arrête.
1. Pour k entier naturel non nul, soit A k l’événement « on a obtenu le premier six au k-ième
lancer du dé ».
a. Calculer P(A k ) et vérifier que
+∞
k=1
P(A k ) = 1.
b. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six au plus tard au troisième lancer ?
c. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six au plus tard au k-ième lancer ?
d. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six après le k-ième lancer sachant
qu’on l’a obtenu au plus tard au 2k-ième lancer ?
2. On appelle B l’événement : « on a obtenu la boule blanche ».
a. Si les k − 1 premiers lancers n’ont pas donné de six, quelle est la composition de l’urne
juste avant qu’on ne lance le dé pour la k-ième fois ?
b. En déduire P(B ∩ A k ).
c. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗ et tout x ∈ [0, 1[, on a
n
k=1
x
k
k
=
x
0
1 − t
n
1 − t
dt.
En déduire que
+∞
k=1
x
k
k
= − ln(1 − x).
d. Calculer P(B).
229
5.
Un enfant saute d’un sommet à l’autre d’un triangle de sommets A, B, C tracé sur le
sol de la manière suivante :
• s’il est au sommet A ou au sommet B, il sautera vers l’un des trois sommets du triangle avec
la même probabilité ;
• s’il est au sommet C, il saute toujours vers le sommet A.
Avant le premier saut, l’enfant se trouve en A (resp. B, resp. C) avec une probabilité a 0 (resp.
b 0 , resp. c 0 ). La probabilité que l’enfant soit A (rep. B, resp. C) après le n-ième saut est notée
a n (resp. b n , resp. c n ). On pose X n =
a n
b n
c n
.
1. Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M 3 (R) telle que pour tout entier n on ait
X n+1 = AX n .
En déduire que, pour tout n ∈ N, on a X n = A
n X 0 .
2. Montrer que A est semblable à la matrice
⎛
⎝
0 0 0
0 −
1
3
0
0 0 1
⎞
⎠ .
Calculer A
n ; en déduire a n , b n , c n pour tout n ∈ N.
6.
On dispose d’un dé équilibré et d’une urne qui à l’origine contient une boule
blanche. On effectue une suite de lancers successifs avec le dé et à chaque fois que l’on obtient
un résultat différent du six, on ajoute une boule rouge dans l’urne. Lorsque l’on obtient le
premier six, on tire une boule de l’urne, et l’expérience s’arrête.
1. Pour k entier naturel non nul, soit A k l’événement « on a obtenu le premier six au k-ième
lancer du dé ».
a. Calculer P(A k ) et vérifier que
+∞
k=1
P(A k ) = 1.
b. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six au plus tard au troisième lancer ?
c. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six au plus tard au k-ième lancer ?
d. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu le premier six après le k-ième lancer sachant
qu’on l’a obtenu au plus tard au 2k-ième lancer ?
2. On appelle B l’événement : « on a obtenu la boule blanche ».
a. Si les k − 1 premiers lancers n’ont pas donné de six, quelle est la composition de l’urne
juste avant qu’on ne lance le dé pour la k-ième fois ?
b. En déduire P(B ∩ A k ).
c. Montrer que, pour tout n ∈ N
∗ et tout x ∈ [0, 1[, on a
n
k=1
x
k
k
=
x
0
1 − t
n
1 − t
dt.
En déduire que
+∞
k=1
x
k
k
= − ln(1 − x).
d. Calculer P(B).
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