1.
Voici le principe d’un nouveau jeu télévisé. Il y a trois portes identiques et opaques
sur le plateau. Derrière deux d’entre il n’y a rien ; derrière la troisième se trouve une voiture.
À la différence du présentateur, le candidat ne sait pas laquelle.
Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre alors une des deux portes restantes derrière laquelle il n’y a pas de voiture. Il reste donc deux portes closes, celle choisie par le
candidat et une autre. Le présentateur autorise alors le candidat à éventuellement changer son
choix et choisir l’autre porte. Une fois que son choix est fait, le présentateur ouvre la porte
choisie par le candidat et si c’est celle qui cachait la voiture, le candidat la gagne.
Le candidat a-t-il intérêt à changer son choix à la deuxième étape ?
2.
On se donne un entier c 1. On considère une urne U qui contient initialement
un certain nombre de boules blanches et de boules noires et on tire les boules de U une à une
au hasard avec le protocole suivant : à l’issue de chaque tirage, la boule tirée est remise dans
l’urne accompagnée de c boules de la même couleur.
Pour a, b et i ∈ N
∗ , on note p i (a, b) la probabilité d’obtenir une boule blanche au i-ième tirage,
sachant que l’urne contenait initialement a boules blanches et b boules noires.
1. Montrer en considérant le résultat du premier tirage que, pour i 2,
p i (a, b) =
a
a + b
p i−1 (a + c, b) +
b
a + b
p i−1 (a, b + c).
2. En déduire la valeur de p i (a, b) pour tout i 1.
3.
Un livre contient quatre erreurs. À chaque relecture, une faute non corrigée est
corrigée avec une probabilité
1
3
· Les corrections des différentes fautes sont indépendantes les
unes des autres ; les relectures successives aussi.
1. Combien faut-il de relectures pour que la probabilité qu’il ne subsiste aucune erreur soit
supérieure à 0, 9 ?
2. Même question en supposant que le nombre d’erreurs est uniformément réparti sur [[0, 4]].
4.
Un banquier se rend chaque jour de son domicile à sa banque, puis de sa banque
à son domicile. Il possède un unique parapluie et l’emporte de son bureau à son domicile et
réciproquement quand il pleut.
On suppose que la probabilité qu’il pleuve vaut constamment p ∈ ]0, 1[ (on pose q = 1 − p).
On note p n la probabilité que le parapluie soit disponible là où se trouve le banquier (au
domicile ou au bureau) au bout de n trajets et q n = 1 − p n .
1. Montrer qu’il existe S ∈ M 2 (R) tel que, pour tout n ∈ N, on ait
p n+1
q n+1
= S
p n
q n
.
2. Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que, pour tout n ∈ N, on ait
S
n = P
1
0
0 (−q)
n
P
−1 .
3. En déduire que la suite (p n ) n∈N converge. Calculer p ∞ = lim
n→+∞
p n .
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Voici le principe d’un nouveau jeu télévisé. Il y a trois portes identiques et opaques
sur le plateau. Derrière deux d’entre il n’y a rien ; derrière la troisième se trouve une voiture.
À la différence du présentateur, le candidat ne sait pas laquelle.
Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre alors une des deux portes restantes derrière laquelle il n’y a pas de voiture. Il reste donc deux portes closes, celle choisie par le
candidat et une autre. Le présentateur autorise alors le candidat à éventuellement changer son
choix et choisir l’autre porte. Une fois que son choix est fait, le présentateur ouvre la porte
choisie par le candidat et si c’est celle qui cachait la voiture, le candidat la gagne.
Le candidat a-t-il intérêt à changer son choix à la deuxième étape ?
2.
On se donne un entier c 1. On considère une urne U qui contient initialement
un certain nombre de boules blanches et de boules noires et on tire les boules de U une à une
au hasard avec le protocole suivant : à l’issue de chaque tirage, la boule tirée est remise dans
l’urne accompagnée de c boules de la même couleur.
Pour a, b et i ∈ N
∗ , on note p i (a, b) la probabilité d’obtenir une boule blanche au i-ième tirage,
sachant que l’urne contenait initialement a boules blanches et b boules noires.
1. Montrer en considérant le résultat du premier tirage que, pour i 2,
p i (a, b) =
a
a + b
p i−1 (a + c, b) +
b
a + b
p i−1 (a, b + c).
2. En déduire la valeur de p i (a, b) pour tout i 1.
3.
Un livre contient quatre erreurs. À chaque relecture, une faute non corrigée est
corrigée avec une probabilité
1
3
· Les corrections des différentes fautes sont indépendantes les
unes des autres ; les relectures successives aussi.
1. Combien faut-il de relectures pour que la probabilité qu’il ne subsiste aucune erreur soit
supérieure à 0, 9 ?
2. Même question en supposant que le nombre d’erreurs est uniformément réparti sur [[0, 4]].
4.
Un banquier se rend chaque jour de son domicile à sa banque, puis de sa banque
à son domicile. Il possède un unique parapluie et l’emporte de son bureau à son domicile et
réciproquement quand il pleut.
On suppose que la probabilité qu’il pleuve vaut constamment p ∈ ]0, 1[ (on pose q = 1 − p).
On note p n la probabilité que le parapluie soit disponible là où se trouve le banquier (au
domicile ou au bureau) au bout de n trajets et q n = 1 − p n .
1. Montrer qu’il existe S ∈ M 2 (R) tel que, pour tout n ∈ N, on ait
p n+1
q n+1
= S
p n
q n
.
2. Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que, pour tout n ∈ N, on ait
S
n = P
1
0
0 (−q)
n
P
−1 .
3. En déduire que la suite (p n ) n∈N converge. Calculer p ∞ = lim
n→+∞
p n .
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