© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Indépendance
n épreuves sera représentée par l’espace probabilisé (V
n , P(V
n ), Q), où Q vérifie, pour tout
événement (A 1 , . . . , A n ) ∈
P(V)
n ,
Q(A 1 × . . . × . . . A n ) = P(A 1 ) × . . . × P(A n ).
En particulier, pour (v 1 , . . . , v n ) ∈ V
n ,
Q({(v 1 , . . . , v n )}) = P({v 1 }) . . . P({v n }).
C’est ainsi qu’on modélise le jeu de pile ou face. On dispose d’une pièce de monnaie qu’on
lance n fois. On suppose que les résultats des différents lancers sont indépendants. Un lancer
sera représenté par l’univers {1, 0}, où 1 représente par exemple le résultat « pile » et 0 le
résultat « face ». Il existe p ∈ [0, 1] tel que la probabilité P sur {0, 1} est définie par P({1}) = p
et P({0}) = 1 − p. La suite de n lancers sera représentée par l’univers V = {0, 1}
n , muni de la
probabilité produit Q.
Par exemple,
• la probabilité de l’événement « on obtient n piles » est p
n ;
• la probabilité de l’événement « on obtient dans cet ordre k piles puis n − k faces »
(0 k n) est p
k (1 − p)
n−k ;
• la probabilité de l’événement « on obtient k piles et n − k faces dans un ordre quelconque »
(0 k n) est
n
k
p
k (1 − p)
n−k car c’est la réunion de
n
k
événements incompatibles de
même probabilité p
k (n − p)
k , correspondant aux différentes répartitions des k piles parmi les
n lancers.
Toute épreuve à deux issues, répétée, peut être modélisée de la même manière.
227