Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Comme A1 ∩ . . . ∩ Ap = A1 ∪ . . . ∪ Ap, on obtient en appliquant de nouveau la proposition 10 que les
événements A1 ∪ . . . ∪ Ap, Ap+1, . . . , An sont indépendants.
❑
Définition 15
Soit (A i ) i∈N une suite d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P). Si, pour toute partie
finie de N,
P
i∈I
A i
=
i∈I
P(A i ),
les événements A i , où i décrit N, sont dits mutuellement indépendants.
4.3 Espace probabilisé produit
En fait, l’indépendance est souvent une conséquence de la modélisation choisie.
Modéliser le lancer de deux dés par [[1, 6]]
2 ou le lancers de n pièces par {0, 1}
n ,
muni de la probabilité uniforme, c’est présupposer que les résultats des différents lancers sont indépendants.
Considérons plus généralement deux épreuves aléatoires correspondant aux espaces
probabilisés (V 1 , P(V 1 ), P 1 ) et (V 2 , P(V 2 ), P 2 ). On les réalise successivement et on
suppose que le résultat de la première épreuve n’influe pas sur celui de la seconde. On
peut représenter un résultat des deux épreuves comme un élément de V 1 × V 2 .
Nous avons démontré dans le livre de première année le théorème suivant .
Théorème 13
Étant donnés deux espaces probabilisés finis (V 1 , P(V 1 ), P 1 ) et (V 2 , P(V 2 ), P 2 ), il existe
une unique probabilité P sur l’espace probabilisable fini (V 1 × V 2 , P(V 1 × V 2 )) vérifiant,
pour tout (A 1 , A 2 ) ∈ P(V 1 ) × P(V 2 )
P(A 1 × A 2 ) = P 1 (A 1 ) × P 2 (A 2 ).
Cette probabilité est appelée probabilité produit de P 1 et de P 2 .
Plus généralement, une succession de n épreuves aléatoires indépendantes représentées
par les espaces probabilisables (V i , P(V i ), P i ) (1 i n) sera modélisée par l’espace
probabilisable (V, P(V), P), où V = V 1 × · · · × V n et P est l’unique probabilité qui
vérifie pour tout (A 1 , . . . , A n ) ∈ V 1 × · · · × V n ,
P(A 1 × . . . × A n ) = P 1 (A 1 ) × . . . × P n (A n ),
appelée probabilité produit.
Exemple : Épreuves répétées
Cela s’applique en particulier à une suite de n épreuves identiques et indépendantes (épreuves
répétées). Si une épreuve est représentée par l’espace probabilisé (V, P(V), P), la suite des
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Comme A1 ∩ . . . ∩ Ap = A1 ∪ . . . ∪ Ap, on obtient en appliquant de nouveau la proposition 10 que les
événements A1 ∪ . . . ∪ Ap, Ap+1, . . . , An sont indépendants.
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Définition 15
Soit (A i ) i∈N une suite d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P). Si, pour toute partie
finie de N,
P
i∈I
A i
=
i∈I
P(A i ),
les événements A i , où i décrit N, sont dits mutuellement indépendants.
4.3 Espace probabilisé produit
En fait, l’indépendance est souvent une conséquence de la modélisation choisie.
Modéliser le lancer de deux dés par [[1, 6]]
2 ou le lancers de n pièces par {0, 1}
n ,
muni de la probabilité uniforme, c’est présupposer que les résultats des différents lancers sont indépendants.
Considérons plus généralement deux épreuves aléatoires correspondant aux espaces
probabilisés (V 1 , P(V 1 ), P 1 ) et (V 2 , P(V 2 ), P 2 ). On les réalise successivement et on
suppose que le résultat de la première épreuve n’influe pas sur celui de la seconde. On
peut représenter un résultat des deux épreuves comme un élément de V 1 × V 2 .
Nous avons démontré dans le livre de première année le théorème suivant .
Théorème 13
Étant donnés deux espaces probabilisés finis (V 1 , P(V 1 ), P 1 ) et (V 2 , P(V 2 ), P 2 ), il existe
une unique probabilité P sur l’espace probabilisable fini (V 1 × V 2 , P(V 1 × V 2 )) vérifiant,
pour tout (A 1 , A 2 ) ∈ P(V 1 ) × P(V 2 )
P(A 1 × A 2 ) = P 1 (A 1 ) × P 2 (A 2 ).
Cette probabilité est appelée probabilité produit de P 1 et de P 2 .
Plus généralement, une succession de n épreuves aléatoires indépendantes représentées
par les espaces probabilisables (V i , P(V i ), P i ) (1 i n) sera modélisée par l’espace
probabilisable (V, P(V), P), où V = V 1 × · · · × V n et P est l’unique probabilité qui
vérifie pour tout (A 1 , . . . , A n ) ∈ V 1 × · · · × V n ,
P(A 1 × . . . × A n ) = P 1 (A 1 ) × . . . × P n (A n ),
appelée probabilité produit.
Exemple : Épreuves répétées
Cela s’applique en particulier à une suite de n épreuves identiques et indépendantes (épreuves
répétées). Si une épreuve est représentée par l’espace probabilisé (V, P(V), P), la suite des
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