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Indépendance
Par la mutuelle indépendance des événements A1,. . . , An, on obtient
P
i∈I
B i
=
i∈I\{k}
P(A i ) −
i∈I
P(A i )
=
1 − P(A k )
i∈I\{k}
P(A i )
= P(A k )
i∈I\{k}
P(A i )
=
i∈I
P(B i ).
Ainsi les événements A1, . . . , A k−1 , A k , A k+1 , . . . , An sont mutuellement indépendants.
On passe au cas général. En utilisant ce premier résultat autant de fois qu’il y a de contraires dans les événements B1, . . . , Bn, nous pouvons en déduire que les événements B1,. . . , Bn sont mutuellement indépendants.
❑
➤ Remarque
On peut démontrer que, pour tout n-uplet (A1, . . . , An) d’événements mutuellement indépendants, tout événement pouvant s’écrire comme réunion ou intersection des événements A1, . . . , A n−1 ou de leurs contraires est
indépendant de An. Plus généralement, si p est un entier tel que 1 p n − 1, tout événement B pouvant
s’écrire comme réunion ou intersection des événements A1, . . . , Ap ou de leurs contraires est indépendant de tout événement C pouvant s’écrire comme réunion ou intersection des événements Ap+1, . . . ,
An ou de leurs contraires.
Nous nous contenterons de montrer un résultat partiel.
Proposition 11
Si les événements A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants et si 1 p n − 1, les
événements A 1 ∩ . . . ∩ A p , A p+1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants ainsi que les
événements A 1 ∪ . . . ∪ A p , A p+1 , . . . , A n .
Preuve
Posons A0 = A1 ∩ . . . ∪ Ap. Soit I un sous-ensemble fini de {0, p + 1, . . . , n}.
Si 0 /
∈ I, on a P(
i∈I
A i ) =
i∈I
P(A i ) par indépendance des événements A1, . . . , An.
Si 0 ∈ I, on a, toujours par indépendance des événements A1, . . . , An,
P
A0 ∩
i∈I\{0}
A i
= P
p
i=1
A i
i∈I\{0}
A i
=
p
i=1
P(A i )
i∈I\{0}
P(A i ).
Comme les événements sont A1, . . . , An sont mutuellement indépendants, on en déduit
P
A0 ∩
i∈I\{0}
A i
= P(A0)
i∈I\{0}
P(A i ) =
i∈I
P(A i )
Les événements A0, Ap+1, . . . , An sont donc indépendants.
Comme les événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants, il résulte de la proposition 10 que les
événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants. Du point précédent, on déduit que les événement
A1 ∩ . . . ∩ Ap, Ap+1, . . . , An sont indépendants.
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Indépendance
Par la mutuelle indépendance des événements A1,. . . , An, on obtient
P
i∈I
B i
=
i∈I\{k}
P(A i ) −
i∈I
P(A i )
=
1 − P(A k )
i∈I\{k}
P(A i )
= P(A k )
i∈I\{k}
P(A i )
=
i∈I
P(B i ).
Ainsi les événements A1, . . . , A k−1 , A k , A k+1 , . . . , An sont mutuellement indépendants.
On passe au cas général. En utilisant ce premier résultat autant de fois qu’il y a de contraires dans les événements B1, . . . , Bn, nous pouvons en déduire que les événements B1,. . . , Bn sont mutuellement indépendants.
❑
➤ Remarque
On peut démontrer que, pour tout n-uplet (A1, . . . , An) d’événements mutuellement indépendants, tout événement pouvant s’écrire comme réunion ou intersection des événements A1, . . . , A n−1 ou de leurs contraires est
indépendant de An. Plus généralement, si p est un entier tel que 1 p n − 1, tout événement B pouvant
s’écrire comme réunion ou intersection des événements A1, . . . , Ap ou de leurs contraires est indépendant de tout événement C pouvant s’écrire comme réunion ou intersection des événements Ap+1, . . . ,
An ou de leurs contraires.
Nous nous contenterons de montrer un résultat partiel.
Proposition 11
Si les événements A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants et si 1 p n − 1, les
événements A 1 ∩ . . . ∩ A p , A p+1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants ainsi que les
événements A 1 ∪ . . . ∪ A p , A p+1 , . . . , A n .
Preuve
Posons A0 = A1 ∩ . . . ∪ Ap. Soit I un sous-ensemble fini de {0, p + 1, . . . , n}.
Si 0 /
∈ I, on a P(
i∈I
A i ) =
i∈I
P(A i ) par indépendance des événements A1, . . . , An.
Si 0 ∈ I, on a, toujours par indépendance des événements A1, . . . , An,
P
A0 ∩
i∈I\{0}
A i
= P
p
i=1
A i
i∈I\{0}
A i
=
p
i=1
P(A i )
i∈I\{0}
P(A i ).
Comme les événements sont A1, . . . , An sont mutuellement indépendants, on en déduit
P
A0 ∩
i∈I\{0}
A i
= P(A0)
i∈I\{0}
P(A i ) =
i∈I
P(A i )
Les événements A0, Ap+1, . . . , An sont donc indépendants.
Comme les événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants, il résulte de la proposition 10 que les
événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants. Du point précédent, on déduit que les événement
A1 ∩ . . . ∩ Ap, Ap+1, . . . , An sont indépendants.
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