Chapitre 7 – Espaces probabilisés
➤ Remarque
On peut déduire de cette proposition que si A est un événement de probabilité 1, il est indépendant de tout
événement B. En effet A est de probabilité nulle donc A et B sont indépendants, comme nous l’avons déjà vu. On
en déduit que A et B sont indépendants.
4.2 Indépendance d’une famille d’événements
Définition 14
Des événements A 1 , A 2 , . . . , A n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont dits deux à deux
indépendants si, pour tout couple (i, j) d’éléments distincts de Ú1, nÛ,
P(A i ∩ A j ) = P(A i )P(A j ).
Des événements (A 1 , A 2 , . . . , A n ) de l’espace probabilisé (V, T , P) sont dits mutuellement indépendants (ou simplement indépendants) si, pour tout sous-ensemble I de
Ú1, nÛ,
P
i∈I
A i
=
i∈I
P(A i ).
➤ Remarque
Si les événements A1, . . ., An sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants, comme
on le voit en prenant pour I un ensemble à deux éléments.
Par contre, la réciproque est fausse.
Proposition 10
Si les événements A 1 , . . . , A n sont deux à deux indépendants, alors les événements
B 1 , . . . , B n , où B i est A i ou A i , sont deux à deux indépendants.
Si les événements A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants, alors les événements
B 1 , . . . , B n , où B i est A i ou A i , sont mutuellement indépendants.
Preuve
• On suppose que les événements A1, . . . , An sont deux à deux indépendants. Soient i et j deux entiers distincts
de Ú1, nÛ. Comme A i et A j sont indépendants, alors B i et B j sont indépendants, d’après la proposition 9.
Donc les événements B1, B2,. . . , Bn sont deux à deux indépendants.
• On suppose que les événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants. On étudie d’abord le cas où
il existe k ∈ [ [1, n] ] tel que B k = A k et B i = A i si i = k. Soit I une partie de Ú1, nÛ.
Si k /
∈ I, alors P(
i∈I
B i ) = P(
i∈I
A i ) =
i∈I
P(A i ) =
i∈I
P(B i ).
Si k ∈ I, on note que
i∈I
A i
∪
i∈I
B i
=
⎛
⎝
i∈I\{k}
A i
⎞
⎠ ∩ (A k ∪ B k ) =
i∈I\{k}
A i
et comme cette union est disjointe
P
i∈I
B i
= P
⎛
⎝
i∈I\{k}
A i
⎞
⎠ − P
i∈I
A i
.
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➤ Remarque
On peut déduire de cette proposition que si A est un événement de probabilité 1, il est indépendant de tout
événement B. En effet A est de probabilité nulle donc A et B sont indépendants, comme nous l’avons déjà vu. On
en déduit que A et B sont indépendants.
4.2 Indépendance d’une famille d’événements
Définition 14
Des événements A 1 , A 2 , . . . , A n de l’espace probabilisé (V, T , P) sont dits deux à deux
indépendants si, pour tout couple (i, j) d’éléments distincts de Ú1, nÛ,
P(A i ∩ A j ) = P(A i )P(A j ).
Des événements (A 1 , A 2 , . . . , A n ) de l’espace probabilisé (V, T , P) sont dits mutuellement indépendants (ou simplement indépendants) si, pour tout sous-ensemble I de
Ú1, nÛ,
P
i∈I
A i
=
i∈I
P(A i ).
➤ Remarque
Si les événements A1, . . ., An sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants, comme
on le voit en prenant pour I un ensemble à deux éléments.
Par contre, la réciproque est fausse.
Proposition 10
Si les événements A 1 , . . . , A n sont deux à deux indépendants, alors les événements
B 1 , . . . , B n , où B i est A i ou A i , sont deux à deux indépendants.
Si les événements A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants, alors les événements
B 1 , . . . , B n , où B i est A i ou A i , sont mutuellement indépendants.
Preuve
• On suppose que les événements A1, . . . , An sont deux à deux indépendants. Soient i et j deux entiers distincts
de Ú1, nÛ. Comme A i et A j sont indépendants, alors B i et B j sont indépendants, d’après la proposition 9.
Donc les événements B1, B2,. . . , Bn sont deux à deux indépendants.
• On suppose que les événements A1, . . . , An sont mutuellement indépendants. On étudie d’abord le cas où
il existe k ∈ [ [1, n] ] tel que B k = A k et B i = A i si i = k. Soit I une partie de Ú1, nÛ.
Si k /
∈ I, alors P(
i∈I
B i ) = P(
i∈I
A i ) =
i∈I
P(A i ) =
i∈I
P(B i ).
Si k ∈ I, on note que
i∈I
A i
∪
i∈I
B i
=
⎛
⎝
i∈I\{k}
A i
⎞
⎠ ∩ (A k ∪ B k ) =
i∈I\{k}
A i
et comme cette union est disjointe
P
i∈I
B i
= P
⎛
⎝
i∈I\{k}
A i
⎞
⎠ − P
i∈I
A i
.
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