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Indépendance
➤ Remarques
• Cette relation ne dépend pas de l’ordre des éléments. Si A et B sont indépendants, il en est de même de B et A.
• Si A est un événement de probabilité nulle, alors A et tout autre événement B sont indépendants. En effet
A ∩ B ⊂ A donc P(A ∩ B) = 0 = P(A)P(B).
Proposition 7
Deux événements A et B de l’espace probabilisé (V, T , P) tels que A ait une probabilité
non nulle sont indépendants si, et seulement si, P A (B) = P(B).
Preuve Par définition de la probabilité conditionnelle, PA(B) =
P(A ∩ B)
P(A)
·
Or A et B sont indépendants si, et seulement si, P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Par suite PA(B) = P(B) si, et seulement si, A et B sont indépendants.
❑
➤ Remarques
• Ainsi, si P(A) = 0, A et B sont indépendants si la probabilité de B et sa probabilité conditionnelle à A sont
égales : la réalisation de A n’influe pas sur celle de B.
• On veillera à ne pas confondre l’indépendance de deux événements et le fait qu’ils sont incompatibles. Ces
notions s’excluent en général comme le montre la proposition suivante.
Proposition 8
Si A et B sont des événements incompatibles non négligeables, ils ne sont pas indépendants.
Preuve
Comme A et B sont incompatibles, A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0. Mais A et B sont des événements non
négligeables, donc de probabilité non nulle et P(A ∩ B) = P(A)P(B).
❑
➤ Remarque
Contrairement à l’incompatibilité qui est une notion ensembliste, l’indépendance est une notion probabiliste. Elle
dépend de la probabilité dont est munie V.
Proposition 9
Si A et B sont deux événements indépendants de l’espace probabilisé (V, T , P), les événements A et B, les événements A et B et les événements A et B sont indépendants.
Preuve
Comme A et B sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A)P(B).
De l’égalité P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B), on déduit
P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)
1 − P(B)
= P(A)P(B),
ce qui montre que A et B sont indépendants.
Comme B et A sont indépendants, le raisonnement précédent montre que B et A sont indépendants. Enfin,
l’indépendance de A et B entraîne celle de A et B.
❑
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Indépendance
➤ Remarques
• Cette relation ne dépend pas de l’ordre des éléments. Si A et B sont indépendants, il en est de même de B et A.
• Si A est un événement de probabilité nulle, alors A et tout autre événement B sont indépendants. En effet
A ∩ B ⊂ A donc P(A ∩ B) = 0 = P(A)P(B).
Proposition 7
Deux événements A et B de l’espace probabilisé (V, T , P) tels que A ait une probabilité
non nulle sont indépendants si, et seulement si, P A (B) = P(B).
Preuve Par définition de la probabilité conditionnelle, PA(B) =
P(A ∩ B)
P(A)
·
Or A et B sont indépendants si, et seulement si, P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Par suite PA(B) = P(B) si, et seulement si, A et B sont indépendants.
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➤ Remarques
• Ainsi, si P(A) = 0, A et B sont indépendants si la probabilité de B et sa probabilité conditionnelle à A sont
égales : la réalisation de A n’influe pas sur celle de B.
• On veillera à ne pas confondre l’indépendance de deux événements et le fait qu’ils sont incompatibles. Ces
notions s’excluent en général comme le montre la proposition suivante.
Proposition 8
Si A et B sont des événements incompatibles non négligeables, ils ne sont pas indépendants.
Preuve
Comme A et B sont incompatibles, A ∩ B = ∅, donc P(A ∩ B) = 0. Mais A et B sont des événements non
négligeables, donc de probabilité non nulle et P(A ∩ B) = P(A)P(B).
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➤ Remarque
Contrairement à l’incompatibilité qui est une notion ensembliste, l’indépendance est une notion probabiliste. Elle
dépend de la probabilité dont est munie V.
Proposition 9
Si A et B sont deux événements indépendants de l’espace probabilisé (V, T , P), les événements A et B, les événements A et B et les événements A et B sont indépendants.
Preuve
Comme A et B sont indépendants, P(A ∩ B) = P(A)P(B).
De l’égalité P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B), on déduit
P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)
1 − P(B)
= P(A)P(B),
ce qui montre que A et B sont indépendants.
Comme B et A sont indépendants, le raisonnement précédent montre que B et A sont indépendants. Enfin,
l’indépendance de A et B entraîne celle de A et B.
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