Chapitre 7 – Espaces probabilisés
On peut construire des arbres de probabilités où interviennent plus de deux événements, mais l’utilisation des arbres est limitée par le nombre de branches qu’on peut
effectivement représenter.
Exemple
On considère une urne contenant initialement quatre boules blanches et trois boules noires.
On tire une à une trois boules de l’urne en remettant la boule dans l’urne si elle est noire et en
ne la remettant pas si elle est blanche. Construisons l’arbre correspondant à cette expérience
aléatoire. Pour i ∈ [[1, 3]], on note B i l’événement « la i-ème boule tirée est blanche » et N i
l’événement contraire « la i-ème boule tirée est noire ». On obtient
¨
¨ ¨ ¨
¨
¨ ¨ ¨
4/7
B1
V r r r r r r
r r
3/7
N1
$ $ $ $ $ $
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1/2
1/2
B2
N2
$ $ $ $ $ $
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4/7
3/7
B2
N2
2 2 2 2 2
– – – – –
B3
N3
2/5
3/5
B1∩B2∩B3
B1∩B2∩N3
2 2 2 2 2
– – – – –
B3
N3
1/2
1/2
B1∩N2∩B3
B1∩N2∩N3
2 2 2 2 2
– – – – –
B3
N3
1/2
1/2
N1∩B2∩B3
N1∩B2∩N3
2 2 2 2 2
– – – – –
B3
N3
4/7
3/7
N1∩N2∩B3
N1∩N2∩N3
Sur les branches après le deuxième embranchement figurent les probabilités conditionnelles à
la conjonction des deux premiers événements.
On obtient par exemple P(B 1 ∩ N 2 ∩ B 3 ) =
4
7
·
1
2
·
1
2
=
1
7
.
La probabilité de l’événement « on tire deux boules blanches » est
P(N 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) + P(B 1 ∩ N 2 ∩ B 3 ) + P(B 1 ∩ B 2 ∩ N 3 ) =
3
7
·
4
7
·
1
2
+
4
7
·
1
2
·
1
2
+
4
7
·
1
2
·
3
5
=
107
245
·
4. Indépendance
Les définitions ont déjà été données en première année.
4.1 Indépendance entre deux événements
Définition 13
Deux événements A et B de l’espace probabilisé (V, T , P) sont dits indépendants si
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
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