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Les probabilités conditionnelles
Exemple
Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d’une personne malade sur
10000. Un responsable d’un grand laboratoire pharmaceutique vante son nouveau test de
dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n’est pas
malade, le test est positif à 0, 1%. Ces chiffres ont l’air excellents. Toutefois, ce qui importe,
c’est la probabilité qu’une personne soit malade si le test est positif. On note M l’événement :
« la personne est malade », et T l’événement « le test est positif ». La formule de Bayes donne
P(M/T) =
P(T /M)P(M)
P(T /M)P(M) + P(T /M)P(M)
=
10
−4
· 0, 99
10 −4 · 0, 99 + 0, 9999 · 10 −3 0, 09.
C’est catastrophique. Il n’y a que 9% de chances qu’une personne positive au test soit effectivement malade. C’est tout le problème des tests de dépistage pour des maladies rares : ils doivent
être excessivement performants, sous peine de donner beaucoup trop de « faux-positifs ».
3.3 Arbres de probabilité
On illustre souvent les probabilités conditionnelles à l’aide d’arbres de probabilité
(appelés aussi arbres pondérés).
V¨ ¨
¨ ¨
¨
¨
¨ ¨
P(A)
A
r r r r r r r r
P(A)
A
$ $ $ $ $ $ $ $
P(B/A)
P(B/A)
B
B
A∩B
A∩B
$ $ $ $ $ $ $ $
P(B/A)
P(B/A)
B
B
A∩B
A∩B
Figure 7.1 Arbre de probabilités
Sur un tel arbre, les embranchements correspondent à des événements ; la racine de
l’arbre correspond à l’événement certain, qu’on sous-entend en général. On parcourt
un tel arbre de la racine vers l’extrémité des branches. Sur chaque branche figure la
probabilité de l’événement qui figure à son extrémité, conditionnelle à la conjonction
des événements qui figurent entre la racine de l’arbre et son origine.
Chaque chemin correspond à la conjonction des événements rencontrés. Par exemple
sur l’arbre de la figure 1, les quatre chemin possibles correspondent aux événements
A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B et A ∩ B. D’après la formule de probabilités composées, la
probabilité affectée à chaque chemin est le produit des probabilités rencontrées.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins sur lequel il
figure. Sur la figure 7.1, on obtient
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A),
ce qui résulte de la formule des probabilités totales.
221
Les probabilités conditionnelles
Exemple
Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d’une personne malade sur
10000. Un responsable d’un grand laboratoire pharmaceutique vante son nouveau test de
dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n’est pas
malade, le test est positif à 0, 1%. Ces chiffres ont l’air excellents. Toutefois, ce qui importe,
c’est la probabilité qu’une personne soit malade si le test est positif. On note M l’événement :
« la personne est malade », et T l’événement « le test est positif ». La formule de Bayes donne
P(M/T) =
P(T /M)P(M)
P(T /M)P(M) + P(T /M)P(M)
=
10
−4
· 0, 99
10 −4 · 0, 99 + 0, 9999 · 10 −3 0, 09.
C’est catastrophique. Il n’y a que 9% de chances qu’une personne positive au test soit effectivement malade. C’est tout le problème des tests de dépistage pour des maladies rares : ils doivent
être excessivement performants, sous peine de donner beaucoup trop de « faux-positifs ».
3.3 Arbres de probabilité
On illustre souvent les probabilités conditionnelles à l’aide d’arbres de probabilité
(appelés aussi arbres pondérés).
V¨ ¨
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P(A)
A
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P(A)
A
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P(B/A)
P(B/A)
B
B
A∩B
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P(B/A)
P(B/A)
B
B
A∩B
A∩B
Figure 7.1 Arbre de probabilités
Sur un tel arbre, les embranchements correspondent à des événements ; la racine de
l’arbre correspond à l’événement certain, qu’on sous-entend en général. On parcourt
un tel arbre de la racine vers l’extrémité des branches. Sur chaque branche figure la
probabilité de l’événement qui figure à son extrémité, conditionnelle à la conjonction
des événements qui figurent entre la racine de l’arbre et son origine.
Chaque chemin correspond à la conjonction des événements rencontrés. Par exemple
sur l’arbre de la figure 1, les quatre chemin possibles correspondent aux événements
A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B et A ∩ B. D’après la formule de probabilités composées, la
probabilité affectée à chaque chemin est le produit des probabilités rencontrées.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins sur lequel il
figure. Sur la figure 7.1, on obtient
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A),
ce qui résulte de la formule des probabilités totales.
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